Calculo diferencial

Actividad 5: Aplicación de derivadas.

Héctor Camilo Alarcón Velandia.

Tecnología en desarrollo ambiental

Universidad Manuela Beltrán.

Calculo diferencial.

10 de septiembre de 2022.

1. Optimización: utilizar las propiedades de la derivada para hallar los máximos o mínimos de una
función, según lo solicite el problema. (Aspecto a evaluar: #1 Optimización.)

a) Una tienda de relojes de alta gama, estima que el costo en dólares de producir una de sus
unidades más costosas se puede estimar mediante la función C(x) = 5x2 + 769,500 donde x
corresponde al número de unidades que se van a producir. Buscando obtener ganancias, él ha
logrado establecer en el mercado un precio de su producto correspondiente a 4200 dólares.
Determine el número de artículo que mensualmente debería producir y poner en el mercado,
para obtener la ganancia máximo total. ¿Cuánto sería esa ganancia? Importante: tenga en cuenta que la ganancia es igual al total de ingresos menos los costos. Y, para calcular el total de ingresos sería el producto del precio con el número de artículos.

C(x) =  + 769,500 [pic 1]

R= X*P

R= 4200*X

P= R-C

P= 4200X-(+765500)[pic 2]

P= 4200X--765500[pic 3]

P= -+4200X-765500[pic 4]

P´=-10X+4200

-10X+4200=0

10X=4200

P=[pic 5]

P=420

R=4200X

R=4200*420

R=1´764000

La ganancia esperada seria de 1´764.00

[pic 6]

b) U7n granjero desea cercar un lote rectangular de 1800 m2 de área. Si unos de los lados esta sobre
la orilla del rio y no se va a colocar cerca, ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del lote para que
la longitud del alambre sea la menor posible? [pic 7][pic 8][pic 9]

                                           x[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

  ↔ [pic 13][pic 14]

 Desechamos como:[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Para x = 30 m y para y = 60 m tenemos la menor cantidad de cerca posible.

c)  Una compañía es contratada por un gremio de cafeteros quienes quieren emprender en el negocio del café instantáneo. Por lo que les solicitan que elaboren un recipiente cilíndrico sin tapa que tenga una capacidad 450cm3. Si el costo del material usado que es vidrio tiene un costo de 6 pesos el centímetro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener este recipiente para que el
costo sea mínimo.

        [pic 18]

v = entonces [pic 19][pic 20]

[pic 21]

        [pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

2. Tasas relacionadas: utiliza la derivación para dar solución a los siguientes problemas de tasas
relacionadas. (Aspecto a evaluar: #2 Tasas relacionadas.)
a) Una compañía encargada de la producción de camisetas ha establecido que la producción diaria
de camisetas blancas x (medido en unidades) y de camisetas a color y (medido en unidades),
cumplen la relación: x3 + 2y3 + 4x + 5y = 8251050

Usualmente, el número de camisetas blancas que se manufacturan por día son x = 200 y y = 50.
Debido a una nueva adquisición de otra máquina para tratar las camisetas a color el número de
estas camisetas se han incrementado en 25 unidades/día. ¿En cuánto se reduce diariamente la
producción de camisetas blancas?

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