Calculo Diferencial

[pic 1]

Paso 1

Introducción a las sucesiones y progresiones

Jorge Hernán Rojas

Claudia Liceth Villagran Casallas

1077 149 596

Curso

Diseños Curriculares en Matemáticas

Código 551109_34

Tutor

Henry Damiro Daza Chaves

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Escuela Ciencias de la Educación

Licenciatura en Matemáticas

2022

Paso 1- Introducción a las sucesiones y progresiones

Introducción:

Se busca identificar la simbolización, definición y las propiedades de las funciones que se encuentran dentro del cálculo diferencial, por medio de la resolución de ejercicios que se presentaron a lo largo de la guía de actividades, se busca aplicar el conocimiento simbólico, para entender las propiedades que se emplearon el desarrollo ejercicios y resolución de problemas.  

Encontramos ejercicios de sucesiones y notación suma, donde se hallan los primeros términos de la sucesión, las sucesiones aritméticas, las cuales se debe identificar sus características y determinar su diferencia, las sucesiones geométricas determinando si son convergentes o divergentes y por último la inducción matemática, que se fundamenta en si la sucesión es verdadera.

SUCESIONES Y NOTACION SUMA

Objetivo: Determinar los primeros términos y el n-ésimo término de una sucesión.

Definición: Una sucesión es una función f cuyo dominio es el conjunto de números naturales.

Los términos de la sucesión son los valores de la función

[pic 2]

Por lo general escribimos  en lugar de la notación de función . En consecuencia, los términos de la sucesión se escriben como[pic 3][pic 4]

[pic 5]

El número  se denomina primer término,  se llama segundo término y, en general,  recibe el nombre de n-ésimo término.[pic 6][pic 7][pic 8]

• Encuentre los primeros cuatro términos y el 100-ésimo término de la sucesión.

1.  [pic 9]

Principalmente hallamos los cuatro primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 10]

 [pic 11]

 [pic 12]

 [pic 13]

 [pic 14]

Luego hallamos el 100-ésimo término de la sucesión, sustituimos [pic 15]

 [pic 16]

1. [pic 17]

Principalmente hallamos los cuatro primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 18]

 [pic 19]

 [pic 20]

 [pic 21]

 [pic 22]

Luego hallamos el 100-ésimo término de la sucesión, sustituimos [pic 23]

 [pic 24]

1. [pic 25]

Principalmente hallamos los cuatro primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 26]

 [pic 27]

 [pic 28]

 [pic 29]

 [pic 30]

Luego hallamos el 100-ésimo término de la sucesión, sustituimos [pic 31]

 [pic 32]

1. [pic 33]

Principalmente hallamos los cuatro primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 34]

 [pic 35]

 [pic 36]

 [pic 37]

 [pic 38]

Luego hallamos el 100-ésimo término de la sucesión, sustituimos [pic 39]

 [pic 40]

1. [pic 41]

Principalmente hallamos los cuatro primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 42]

 [pic 43]

 [pic 44]

 [pic 45]

 [pic 46]

Luego hallamos el 100-ésimo término de la sucesión, sustituimos [pic 47]

 [pic 48]

1. [pic 49]

Principalmente hallamos los cuatro primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 50]

 [pic 51]

 [pic 52]

 [pic 53]

 [pic 54]

Luego hallamos el 100-ésimo término de la sucesión, sustituimos [pic 55]

 [pic 56]

SUCESIONES ARITMÉTICAS

Objetivo: Determinar los primeros términos de la sucesión, hallando el n-ésimo termino y la diferencia común.

Definición: Una sucesión aritmética es una sucesión de la forma

[pic 57]

El número a es el primer término, y d es la diferencia común de la sucesión. El

n-ésimo término de una sucesión aritmética está dado por 

[pic 58]

• Nos dan una sucesión. (a) Encuentre los primeros cinco términos de la sucesión. (b) ¿Cuál es la diferencia común d? (c) Grafique los términos que encontró en (a).

1. [pic 59]

Principalmente hallamos los cinco primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 60]

 [pic 61]

 [pic 62]

 [pic 63]

 [pic 64]

 [pic 65]

Diferencia común:

Como el primero término es , la diferencia común es , entonces:[pic 66][pic 67]

[pic 68]

• Determine si la sucesión es aritmética. Si es aritmética, encuentre la diferencia común.

1. [pic 69]

Si  y , entonces tenemos una sucesión aritmética. [pic 70][pic 71]

• Encuentre los primeros cinco términos de la sucesión y determine si es aritmética. Si es aritmética, encuentre la diferencia común y exprese el n-ésimo término de la sucesión en la forma normal.

1. [pic 72]

Principalmente hallamos los cinco primeros términos remplazando la  por el término que se quiere hallar. [pic 73]

 [pic 74]

 [pic 75]

 [pic 76]

 [pic 77]

 [pic 78]

Si es una sucesión aritmética porque consta de la formula

[pic 79]

Como el primero término es , la diferencia común es , entonces:[pic 80][pic 81]

[pic 82]

Por lo tanto el 100-ésimo término de la sucesión es:

[pic 83]

SUCESIONES GEOMÉTRICAS

Objetivos: Reconocer si la serie geométrica que se proporciona es convergente o divergente. 

Definición: Si , entonces la serie geométrica infinita[pic 84]

[pic 85]

Converge y tiene la suma

[pic 86]

Si , la serie es divergente[pic 87]

• Determine si la serie geométrica infinita es convergente o divergente. Si es convergente, encuentres su suma.

1. [pic 88]

Esta es una serie geométrica infinita con  y . Como , la serie converge. [pic 89][pic 90][pic 91]

• Exprese el decimal periódico como una fracción.

1. [pic 92]

Este decimal repetido se puede escribir como una serie:

[pic 93]

Después del primer término, los términos de esta serie forman una serie geométrica infinita con

        y       [pic 94][pic 95]

Entonces la suma de esta parte de la serie es

[pic 96]

Por lo tanto,

[pic 97]

1. [pic 98]

Este decimal repetido se puede escribir como una serie:

[pic 99]

Después del primer término, los términos de esta serie forman una serie geométrica infinita con

        y       [pic 100][pic 101]

Entonces la suma de esta parte de la serie es

[pic 102]

Por lo tanto,

[pic 103]

INDUCCIÓN MATEMÁTICA:

Objetivo: Emplee la inducción matemática para demostrar la formula como verdadera.

Definición: Consideremos una clase especial de demostración llamada inducción matemática. A continuación veamos cómo funciona: suponga que tenemos un enunciado que dice algo acerca de todos los números naturales n. Por ejemplo, para cualquier número natural n, sea  el siguiente enunciado:[pic 104]

...