Clasificación de las Matrices.

2.3.- Clasificación de las Matrices.

Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.

Son matrices de orden, p x p ó p2.

Las matrices:

A = 2 0 B = 0 2 3

-3 1 -1 0 2

0 0 0

son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.

Los elementos a11, a22, a33, ... ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.

La diagonal principal será:

a11 ... ... ...

A = ... a22 ... ...

... ... a33 ...

... ... ... ann

una matriz cuadrada tal que:

a11 = a22 = a33 = .... = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.

La representaremos por I o sea:

IA = 1 0

• 1

es una matriz de orden 2 x 2.

Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Esta es un matriz diagonal:

2 0 0 0

A = 0 3 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 4

Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.

Ejemplo:

A = 3 0 0 es una matriz inferior.

1 2 0

-1 0 4

B = 4 1 -2

0 1 5 es una matriz superior.

0 0 3

Esquema de filas, columnas y diagonal principal.

1 0 4 7 filas

A = 0 2 5 8

0 3 6 9

1 2 1 0 diagonal principal

columnas

Una matriz nula tiene todos sus elementos nulos.

Ejemplo:

0 0 0

A = 0 0 0

0 0 0

Una matriz cuadrada es simétrica si: aij = aji.

Es decir si los elementos situados a igual distancia de su diagonal principal son iguales.

A = 1 -3 5

-3 2 0

5 0 1

es simétrica porque: a12 = a21 = -3, a13 = a31 = 5, a23 = a32 = 0.

Una matriz es asimétrica si: aij = aji.

Observa si 1 = j, aii = -aii y el único número que cumple con esta igualdad es el cero por lo que es una matriz asimétrica la diagonal principal esta formada por elementos nulos.

En una matriz asimétrica los elementos situados a igual distancia de la diagonal principal son iguales en valor absoluto y de signos contrarios.

B = 0 2 -2 5

-2 0 3 6

2 -3 0 -1

-5 6 1 0

es una matriz asimétrica

Matriz escalar

Si tenemos una matriz diagonal cuyos elementos que están en la diagonal principal son todos iguales entonces tenemos una matriz escalar.

A = 3 0 0

0 3 0

0 0 3

Matriz identidad

Es toda matriz escalar en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad.

Esta matriz se representa por 1n.

12 = 1 0

• 1

igualdad de matrices si y solo si tienen el mismo orden y sus elementos son iguales.

Ejemplo:

A = a b B = x y

c d z w

si en estas matrices a = x, b = y, c = z y d = w, entonces las matrices A y B son iguales.

Matriz transpuesta

Si tenemos una matriz (A) cualquiera de orden m x n entonces su transpuesta es otra matriz (A) de orden n x m donde se intercambian las filas y las columnas de la matriz (A).

Ejemplo:

Si A = 4 -1 3

0 5 -2

entonces su traspuesta será:

At = 4 0

-1 5

2.4 Transformaciones elementales por renglón. Escalonamiento de una matriz. Rango de una matriz.

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido que definimos a continuación.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los n´umeros de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos PIVOTE de F al primer n´umero distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:

1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Por ejemplo, entre las matrices:

A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el RANGO de E, que representamos por rg (E), como el numero de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

La siguiente cuestión que abordaremos es la definición de rango para una matriz cualquiera que no esté escalonada. La idea será la de transformar la matriz dada en otra que sea escalonada mediante las llamadas transformaciones elementales por filas que describimos a continuación.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

1. Intercambiar la posición de dos filas.

2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

Nota: Análogamente podríamos hacerlo todo por columnas; sin embargo, son las transformaciones por filas las que son importantes en los sistemas de ecuaciones lineales que estudiaremos después.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

=Teorema=

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Veamos en un ejemplo cómo se hace. Obsérvese que, primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

El teorema anterior nos permite hacer una definición importante:

Dada una matriz A cualquiera se define el RANGO de A y lo denotamos rg(A) como el rango de cualquier matriz escalonada E equivalente con A (se demuestra que este número no depende de la matriz escalonada E a la que se llegue). El rango siempre es un número menor o igual que el número de filas y el número de columnas de A. Además, el rango es cero si y sólo si A = 0. En nuestro ejemplo de antes, el rango es 3.

2.5.- Cálculo de la Inversa de una Matriz.

Cálculo de la matriz inversa usando determinantes

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:

Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El método de Gauss - Jordan para calcular la matriz inversa de una dada se basa en una triangularización superior y luego otra inferior de la matriz a la cual se le quiere calcular la inversa.

Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Sabemos que no siempre una matriz tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de Gauss (triangularización inferior) se obtiene una línea de ceros, la matriz no tiene inversa.

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