Clasificación de matrices: Tipos, definiciones y ejemplos

CLASIFICACIÓN DE MATRICES

a) Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada se llama triangular superior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal con cero

Ejemplos:

b) Matriz triangular inferior: Se dice que una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los componentes que se encuentran arriba de la diagonal principal son cero,

Ejemplos:

c) Matriz diagonal. Una matriz cuadrada se llama matriz diagonal si todos los componentes que están fuera de la diagonal principal son cero.

Ejemplos:

d) Matriz escalar: Es una matriz diagonal, donde a11=a22=…=ann=k,

Ejemplos:

e) Matriz identidad. Es una matriz escalar, con escalar igual a 1, es decir, tiene 1’s en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones.

Ejemplos:

Se denota por la letra I y el subíndice indica el orden.

f) Matriz transpuesta. La matriz transpuesta de una matriz A de orden mxn es la matriz AT de tamaño nxm que se obtiene permutando la fila a columna.

Ejemplos:

A= AT=

g) Matriz simétrica. Una matriz simétrica es simétrica si cumple con A= AT

Ejemplos:

La matriz C no es simétrica

h) Matríz antisimétrica. Una matriz es antisimétrica, cuando cumple con A= -AT

i) Matriz potencia. Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo “k”. Las potencias de A se definen como sigue: A2=AA, A3=A2A, …, An+1=AnA y A0=I

Ejemplo:

Sea , calcular A2 y A3

Solución

j) Matriz Periódica. Una matriz A se llama periódica, si k el menor número entero y positivo para el cual se cumple Ak+1=A, se dice que la matriz A tiene como periodo k.

Ejemplo:

, demostrar que A es una matriz de periodo 2.

Solución:

Para determinar si A tiene periodo 2 es necesario calcular A3, por lo tanto

Como vemos de A3=A, entonces A es una matriz periódica, con periodo 2.

k) Matriz nilpotente. También llamada matriz nulipotente, siendo A una matriz cuadrada y si p es el menor número entero positivo para el cual Ap=0, entonces A es nilpotente de orden p.

Ejemplo:

Demostrar que es una matriz nilpotente de orden 3.

Solución:

Para hacer dicha demostración es necesario calcular A3, por lo que tenemos

Como vemos que A3=0, entonces A es nilpotente de orden 3.

l) Matriz idempotente. Una matriz A de nxn es idempotente si y solo si A2=A.

Ejemplo:

Si a , demostrar que A es idempotente.

Solución:

Como vemos que se cumple A2=A., entonces A es una matriz idempotente.

m) Matriz involutiva. Una matriz A es involutiva si cumple con A2=I.

Ejemplo: Si , demostrar de A2=I.

Solución

Es necesario calcular A2=I, por lo que tenemos:

Como vemos que A2=I., entonces A es una matriz involutiva.

n) Matriz ortogonal. Una matriz cuadrada es ortogonal si AAT=ATA=I.

Ejemplo. Si , demostrar que A es ortogonal

Solución

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