Colaborativo 3 Algebra

ACTIVIDAD No 1

De la siguiente elipse 25x2+ 9y2 – 50x + 36y - 164 = 225. Determine:

Centro

Focos

Vértices

ordenamos

25x² - 50x + 9y² + 36y = 389

factor izamos

25(x² - 2x) + 9(y² + 4y) = 389

completamos el trinomio cuadrado perfecto

25(x² - 2x + 1²) + 9(y² + 4y + 2²) = 389 + (25)(1) + (9)(4)

convertimos a binomio al cuadrado

25(x - 1)² + 9(y + 2)² = 450

dividimos entre 450

(25(x - 1)^2)/450+(9(y + 2)^2)/(450 )=(450 )/(450 )

y ahora tenemos la ecuación canónica

(x - 1)^2/18+(y + 2)^2/50=1

podemos expresarla

(x - 1)^2/(3√2)^2 ( (y + 2)^2)/(5√2)^2 =1

que es de la forma

(x - h)^2/b^2 (y - k)^2/a^2 =1

ecuación de una elipse vertical donde

- (h, k) son las coordenadas del centro ⇒ (1, -2)

a = semi eje mayor ⇒ 5√2

b = semi eje menor ⇒ 3√2

- la semi distancia focal c

c = √(a² - b²) = √(50 - 18) = √32 = 4√2

- las coordenadas de los vértices

(h, k ± a) ⇒ (1, -2 ± 5√2) ⇒ (1, -2 + 5√2) y (1, -2 - 5√2)

De la siguiente hipérbola 9x2- 4y2- 18x - 24y - 27 = 0. Determine:

Centro

Focos

Vértices

ordenamos

9x² - 18x - 4y² - 24y = 27

factorizamos

9(x² - 2x) - 4(y² + 6y) = 27

completamos trinomio cuadrado perfecto

9(x² - 2x + 1²) - 4(y² + 6y + 3²) = 27 + (1)(9) + (9)(-4)

convertimos a binomio al cuadrado

9(x - 1)² - 4(y + 3)² = 0

este 0 al final nos dice que se trata de un par de líneas cruzadas, como no es hipérbola no tiene focos ni vértices

Analice la siguiente ecuación 2x2+ 2y2– x = 0. Determine:

Centro

Radio

dividimos entre 2

x² + y² - x/2 = 0

ordenamos

x² - x/2 + y² = 0

completamos trinomio cuadrado perfecto

(x² - x)/2+(1/4)^2+y^2=(1/4)^2

convertimos a binomio al cuadrado

〖(x-(1/4)〗^2)+(1/4)^2+y^2=(1/4)^2

ahora tenemos la ecuación de la circunferencia de la forma

(x - h)² + (y - k)² = r²

donde

(h, k) son las coordenadas del centro ⇒ (1/4, 0)

r = radio ⇒ 1/4

De la siguiente parábola 9x2+ 24x + 72y + 16 = 0 lo siguiente:

Vértice

Foco

Directriz

ordenamos

9x² + 24x = -72y - 16

dividimos entre 9

x² + 8x/3 = -8y -16/9

completamos t.c.p.

x² + 8x/3 + (4/3)^2= -8y -16/9 +16/9

convertimos a binomio al cuadrado

(x + (4/3))² = -8(y)

ahora tenemos la ecuación de una parábola que abre hacia abajo de la forma

(x - h)² = (-4p)(y - k)

donde

(h, k) son las coordenadas del vértice ⇒ (-4/3, 0)

p = distancia foco - vértice ó distancia vértice directriz ⇒ 2

foco

(h, k - p) ⇒ (-4/3, 0 - 2) ⇒ (-4/3, - 2)

directriz

y = k + p ⇒ y = 0 + 2 ⇒ y = 2

Determine la ecuación de la recta que pasa por (2, 3) y cuya abscisa en el origen es el doble de la ordenada en el origen.

y = m x + b

cuando x = 0

b ordenada en el origen

cuando y = 0

xo : abscisa en el origen

m xo + b = 0

xo = -b/m

Nos dicen que

xo = 2 b = - b/m

Esto nos determina la pendiente

m = -1/2

entonces, usamos para una recta pasante

...