Combinación lineal de vectores

Combinación lineal de vectores

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Ejemplo 1:Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

Ejemplo 2:El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores ?

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.

1.-Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son tienen la misma dirección.

3.Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

2.-Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si no son linealmente dependiente. Por tanto

a1 = a2 = ••• = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo

Deterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.:

= (3, 1) y = (2, 3)

Linealmente independientes

3.-Base

Se llama BASE de un espacio vectorial al conjunto mínimo de vectores que se precisa para obtener el resto como combinación lineal de ellos.

Dos vectores y con distinta dirección ( linealmente independientes) forman una base del plano o R2, ya que cualquier vector es combinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son los coeficientes de esa combinación lineal.

Ejemplos

Dos vectores linealmente independientes del plano siempre forman base. En el caso del espacio R3 son preciso tres vectores.

Ejemplo

Qué pares de los siguientes vectores forman una base:

Base ortogonal

Base ortonormal

Esta base formada por los vectores y se denomina base canónica.

Es la base que se utiliza habitualmente, de modo que si no se advierte nada se supone que se está trabajando en esa base.

4.- Sistema de referencia

Aplicaciones de vectores

Coordenadas del punto medio de un segmento

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

Condición para qué tres puntos estén alineados

Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.

Simétrico de un punto respecto de otro

Por lo que se verificará igualdad:

Hallar el simétrico del punto A(7, 4) respecto de M(3, - 11).

Coordenadas del baricentro

Las coordenadas del baricentro son:

Dados los vértices de un triángulo A(-3, -2), B(7, 1) y C(2, 7), hallar las coordenadas del baricentro.

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