Combinación Lineal

1.- Combinación Lineal.

R: Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Ejercicio:

2.- Combinación Lineal de los Vectores.

R: Un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

si se puede expresar como suma de los

Vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar , es decir:

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de .

Ejemplo:

El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

Otro ejemplo:

: Se dice que es combinación lineal de y de , porque

Podemos escribir sin más que despejar la . De la misma

Manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Los escalares dicen cuánto de cada vector del conjunto necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos, pueda formar el vector en cuestión.

3.- Combinación Lineales Trivial y Nula.

R Combinación lineal trivial, combinación trivial nula. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F y sean a1; am algunos vectores del espacio V. Una combinación lineal

Se llama:

• Trivial, si todos los coeficientes son cero: ג1 = : : : = ג m = 0

• Nula, si

Toda combinación lineal trivial es nula, pero para algunos vectores existen combinaciones lineales nulas no triviales.

4.- Vectores linealmente dependientes.

R: Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano = (u1, u2) y = (v1, v2) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

5.- Vectores linealmente Independientes.

R: Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ••• = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

6.- Dimensión y base del espacio vectorial R3

R: Se llama dimensión de un espacio vectorial al máximo número de vectores que puede tener un conjunto lineal independiente,

Entonces podemos afirmar que la dimensión del espacio vectorial R3 es 3 (Y por tanto, también la de V3).

• Base de un espacio Vectorial: una base de un espacio vectorial de dimensión n es un conjunto de n vectores linealmente independientes.

Por ejemplo, el conjunto {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} es una base de R3.

El conjunto {i,j,k} es una base de V3.

7.- Base Canónica.

R: Es la base formada por los vectores:

S= {e1, e2, e3….. ei,…… en}

Donde: e1 = (1,0,0,0 …..0) e2 = (0,1,0,0 ….0)

e3 = (0,0,1,0 ….0) e4 = (0,0,0,1 ….0)

en = (0,0,0,0, …..1)

Dependiendo de la dimensión n del espacio donde se halle definido el espacio vectorial de que se trate.

Si no se especifica la base en la que se ha expresado un vector, se sobreentenderá que está en base canónica. Las coordenadas de cualquier vector en la base canónica coinciden con sus componentes.

En forma matricial, la base canónica es la matriz unidad y se puede escribir:

1 0 0 0 ….0

0 1 0 0 ….0

0 0 1 0 ….0

0 0 0 1 ….0

: : : : …... :

0 0 0 0 … 1

Ejemplo: Expresar en base canónica el vector del problema anterior:

V = (1, 0, 2, 1)

Como la base canónica de R4 es: e1 = (1,0,0,0)

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