Combinacion Lineal

INDICE

Introducción 3

Combinación Lineal 4

Combinación Lineal de 2 vectores 4

Combinaciones Triviales y Nulas 5

Dependencia e Independencia Lineal 6

Base y dimensiones del espacio vectorial R3 7

Base Canónica 8

Producto Escalar de Dos Vectores 9

Forma Geométrica de un Producto Escalar 10

Propiedades del producto escalar 11

Conclusión 12

Bibliografía 13

INTRODUCCIÓN

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigida por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vector A, donde A es el sistema de vectores. Si “n” vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión.

A continuación se hace referencia de lo que es la combinación lineal, de dos vectores, la trivial y nula, así como también los vectores dependiente e independiente, lo que es la base canónica, el producto escalar, entre otros.

Combinación Lineal

Sea V un espacio vectorial y consideremos vectores de V. Diremos que el vector es combinación lineal de los vectores si existen escalares tales que:

En otras palabras, un vector se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar, de forma que:

Así, es combinación lineal de vectores de si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos.

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

Combinación Lineal de 2 Vectores

Dados los vectores y , se pueden hacer las operaciones siguientes:

Se dice que el vector (8,4,7) es combinación lineal de y .

Hay que observar que cualquier vector que se obtenga como combinación lineal de y , está en el plano que contiene a esos dos vectores; y recíprocamente, todo vector del plano que contiene a y , se puede expresar como combinación lineal de y .

Se dice, en este caso, que el plano de la figura está generado por y

Combinaciones Triviales y Nulas.

Una c.l. de vectores v1, ... , vk y escalares 1, ..., k se dice c.l. nula, si 1v1 + ... + kvk = 0V. Una c.l. nula de vectores en IR2 es:

(1) + (2) + (-1) + (1) = y otra c. l. nula de estos mismos

vectores es: (0) + (0) + (0) + (0) = . La primera c.l. nula

se dice no trivial, porque los escalares involucrados no son todos nulos (basta

que un solo escalar sea distinto de cero para que la c.l. sea no trivial), mientras que la segunda se dice trivial, porque los escalares sí son todos nulos.

Las siguientes son c.l.’s nulas no triviales de los vectores involucrados:

0 + 0 + 7 = , 1 =

Todo subconjunto de vectores de un e.v. V admite una c.l. nula trivial, pero algunos sólo admiten la c.l. nula trivial y no otra. Por ejemplo; el conjunto de vectores de

IR2 admite, entre otras, la c.l. nula no trivial:

(1) + (2) + (-1) + (1) = , pero el conjunto de vectores de

IR2 no admite c.l. nula no trivial, pues toda c.l. nula de estos vectores con escalares x e y sería: x + y = , lo cual se traduce en: = y esto en el sistema homogéneo de dos ecuaciones y dos incógnitas: x e y: , cuya solución es la trivial: x = 0 e y = 0, pues la matriz de sus coeficientes : es invertible

= (ver teorema creciente). Otros conjuntos que no

admiten c.l.’s nulas no triviales son en IR2, en IR3 y en general en IRn ... , , conjuntos que hemos llamado bases canónicas del espacio IR2, IR3, IRn respectivamente. En cuanto a los vectores de las bases canónicas presentamos otro ejemplo de c.l.

Dependencia e Independencia Lineal.

1.-Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

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