COMBINACIÓN LINEAL

COMBINACIÓN LINEAL

Cuando hablamos de combinación lineal, hablamos de: X1C1+X2C2+X3C3,···,XnCn, esto consta de multiplicar cada uno de los vectores por su respectivo escalar, para luego ser sumados; es decir, una combinación lineal es simplemente la suma de N vectores donde cada uno multiplica por un escalar. Los escalares son también llamados los coeficientes de la combinación lineal.
Un escalar por un vector, es un vector del mismo espacio vectorial y la suma de estos me da otro vector dentro del mismo espacio.

EJERCICIO PROPUSTO

• Sea v = (-3,8,10) y v1 = (0,5,1), v2 = (0,-1,3) y v1 = (-1,-1,5). Representar, si es posible, v como combinación lineal de los elementos v1, v2, v3

V = K1V1  + K2V2 + K3V3

(-3, 8, 10) = K1 (0,5,1) + K2 (0,-1,3) + K3 (-1,-1,5)

(-3, 8, 10) = (0,5K1,K1) + (0,-K2,3K2) + (-K3, -K3, 5K3)

(-3, 8, 10) = (-K3, 5K1 –K2 -K3, K1 +3K2 + 5K3)

Resolviendo en el sistema “gauss jordan”[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

0         0         -1          -3                                1         3          5           10                 (-5)[pic 7][pic 8][pic 9]

5        -1         -1           8                =                 5        -1          -1           8                +

1         3          5           10                                0         0         -1         -3

        1        3        5        10                                1        3        5        10        [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

=         0        -16        -26        -42                              =         0        1                          (-3)[pic 21][pic 18][pic 19][pic 20]

        0        0        -1        -3             -1                        0        0        1        3[pic 22]

[pic 23][pic 24][pic 25]

        1         0                [pic 28][pic 29][pic 26][pic 27]

=        0        1                [pic 32][pic 33][pic 30][pic 31]

        0        0        1        3                 (-13/8)          (-1/8)

[pic 34][pic 35][pic 36]

        1        0        1        [pic 37]

=        0        1        0                         K1 =  ;           K2 =          ;        K3 = 3[pic 38][pic 39][pic 40]

        0        0        1        3

                 V = K1V1  + K2V2 + K3V3

(-3, 8, 10)  =   (0,5,1)   (0,-1,3) + 3(-1,-1,5)[pic 41][pic 42]

V=   V1    V2  + 3 V3[pic 43][pic 44]

INDEPENDECIA LINEAL

En algebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si no existen combinaciones lineales entre sus vectores. Ninguno de estos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes; por lo tanto, si combinamos linealmente los elementos de un conjunto y los escalares son nulos, entonces el conjunto seria linealmente independiente. En conclusión cualquier conjunto que contenga un único vector diferente de cero, es linealmente independiente.

EJERCICIO PROPUESTO

• Determine si los vectores v1 = (0,5,1), v2 =(0,-1,3), v3 =(-1,-1,5) son linealmente independientes. [pic 45]

 0         5        1

         0        -1        3        

-1        -1        5        

 0            5        1         0         5                        0   -15 + 0 – ( 1 + 0 + 0 ) [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

 0        -1        5         0        -1                             -15 - 10 =  -16[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

-1        -1        5        -1        -1        

      Linealmente independiente: = - 16 ≠                   

ESPACIO GENERADO

Teniendo en cuenta que el espacio generado por un conjunto de vectores es el mínimo subespacio que tiene, podríamos decir que; si nosotros tenemos un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, este conjunto de vectores va a generar un subespacio de V, y este espacio que genera no es más que el conjunto de todas las posibles combinaciones lineales que se puedan realizar con los vectores del conjunto.

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