Como resolver ecuaciones

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas

En este artículo:Factorizar la ecuaciónUtilizar la fórmula cuadráticaCompletar el cuadrado

Una ecuación cuadrática (o de segundo grado) es una ecuación polinómica en una variante simple donde a máxima potencia de la variable es 2. Existen tres formas principales de resolver ecuaciones de segundo grado: 1)factorizar la ecuación (si es posible), 2) utilizar la fórmula cuadrática, o 3) completar el cuadrado. Si quieres aprender a dominar estos tres métodos, solo tienes que seguir los siguientes pasos.

Método1

Factorizar la ecuación

[pic 1]

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Combina todos los términos semejantes y transpórtalos a un lado de la ecuación. El primer paso para factorizar una ecuación es transportar todos los términos a un lado de la ecuación, manteniendo positivo el término . Para combinar los términos, suma o resta todos los términos , los términos , y las constantes (términos enteros), transportándolos a un lado de la ecuación hasta que no quede nada en el otro lado. Una vez que te quedes sin términos restantes, simplemente escribe "0" en ese lado del signo igual (=). A continuación, te mostraremos cómo debes hacerlo:[1]

1. La fórmula cuadrática
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3. Objetivos de aprendizaje
4. ∙         Escribir una ecuación cuadrática en su forma estándar identificando los valores de a, b y c en la forma estándar de una ecuación cuadrática.
5. ∙         Usar la fórmula cuadrática para encontrar todas las soluciones reales.
6. ∙         Usar la fórmula cuadrática para encontrar todas las soluciones complejas.
7. ∙         Calcular el discriminante e indicar el número y tipo de soluciones.
8. ∙         Resolver problemas de aplicación que requieren el uso de la fórmula cuadrática.
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10. Introducción
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12. Puedes resolver una ecuación cuadrática completando el cuadrado, reescribiendo parte de la ecuación como un trinomio cuadrado perfecto. Si completas el cuadrado de una ecuación genérica ax2 + bx+ c = 0 y luego resuelves x, encuentras que [pic 2]. A esta ecuación se le conoce como ecuación cuadrática.
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14. Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0.
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16. Forma estándar
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18. La forma ax2 + bx + c = 0 se llama la forma estándar de una ecuación cuadrática. Antes de resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática, es vital estar seguros de que la ecuación tenga esta forma. Si no, podríamos usar los valores incorrectos de a, b, o c y la fórmula dará soluciones incorrectas.
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3. Derivando la fórmula cuadrática
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5. Completemos el cuadrado en la ecuación general para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado.
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7. ∙         Empieza con una ecuación de la forma x2 + bx + c = 0.
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9. ∙         Reescribe la ecuación de modo que x2 + bx quede despejado a un lado.
10. ∙         Completa el cuadrado sumando [pic 3]a ambos lados.
11. ∙         Reescribe el trinomio cuadrado perfecto como el cuadrado de un binomio.
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13. ∙         Usa la propiedad de la raíz cuadrada y resuelve x.
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15. ¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ax2 + bx + c = 0? Inténtalo tú antes de continuar con el ejemplo siguiente. Pista: Observa que en la ecuación general, el coeficiente de x2no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace las expresiones un poco complicadas, pero si tienes cuidado, puede salir bien y al final, ¡tendrás la fórmula cuadrática!
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3. Y ahí está, la fórmula cuadrática.
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6. Resolviendo ecuaciones cuadráticas usando la formula cuadrática
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8. La fórmula cuadrática funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en la forma estándar, [pic 22]. Para usarla, sigue estos pasos.
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10. ∙         Pon primero la ecuación en su forma estándar.
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12. ∙         Identifica los coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c se restan.
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14. ∙         Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.
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16. ∙         Simplifica lo más posible.
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18. ∙         Usa el ± en frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la raíz cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.
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20. ∙         Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.
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22. Son bastantes pasos. Intentemos usar la fórmula cuadrática para primero resolver una ecuación relativamente simple; luego volveremos a resolver usando otro método de factorización.
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3. Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo 1 y −5 en la ecuación original.
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2. Obtienes enunciados válidos, por lo que sabes que ambas soluciones funcionan: x = 1 o −5. ¡Has resuelto con éxito una ecuación usando la fórmula cuadrática!
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4. Sin embargo, al ver x2 + 4x = 5, pudiste haber pensado “ya sé cómo resolver esto; puedo reescribir la ecuación como x2 + 4x – 5 = 0 y luego factorizar como (x + 5)(x – 1) = 0, entonces x = −5 o 1.” Esto es correcto, ¡y felicidades si encontraste esta conexión!
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6. Algunas veces, podría ser más fácil resolver una ecuación usando los métodos convencionales de factorización, como encontrar números pares que se suman a un número (en este ejemplo, 4) y que producen una cantidad específica (en este ejemplo, −5) cuando se multiplican. El poder de la fórmula cuadrática es que puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática, incluso aquellas donde no se puede encontrar el número de combinaciones.
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8. La mayoría de las ecuaciones cuadráticas que hemos visto han tenido dos soluciones, como la anterior. El siguiente ejemplo es un poco distinto.
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3. De nuevo, comprueba usando la ecuación original.
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2. Intentemos un último ejemplo. Este también tiene una diferencia en la solución.
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3. Comprueba estas soluciones en la ecuación original. Ten cuidado cuando expandes los cuadrados y reemplazas i2 con -1.
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3. El discriminante
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5. Estos ejemplos han mostrado que una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales, una solución real, o dos soluciones complejas.
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7. En la fórmula cuadrática, la expresión dentro del símbolo radical determina el número y tipo de soluciones que dará la fórmula. Esta expresión, b2 – 4ac, se llama el discriminante de la ecuación ax2 + bx+ c = 0.
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9. Pensemos sobre cómo afecta el discriminante la evaluación de [pic 50] y cómo ayuda a determinar el conjunto solución.
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11. ∙         Si b2 – 4ac > 0, entonces el número dentro del radical será un valor positivo. Siempre puedes encontrar la raíz cuadrada de un positivo, por lo que evaluar la fórmula cuadrática resultará en dos soluciones reales (una sumado la raíz cuadrada positiva y la otra restando).
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13. ∙         Si b2 – 4ac = 0, entonces sacarás la raíz cuadrada de 0, que es 0. Como sumar y restar 0 da el mismo resultado, la porción "±" de la fórmula no importa. Habrá una solución real.
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15. ∙         Si b2 – 4ac < 0, entonces el número dentro del radical será un valor negativo. Como no puedes encontrar la raíz cuadrada de un número negativo usando números reales, no habrá soluciones reales. Sin embargo, puedes usar números imaginarios. Entonces tendrás soluciones complejas, una sumando la raíz cuadrada imaginaria y la otra restando.
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3. Aplicando la fórmula cuadrática
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5. Las ecuaciones cuadráticas se usan mucho en la ciencia, los negocios y la ingeniería. Las ecuaciones cuadráticas se usan comúnmente en situaciones donde las cosas se multiplican y ambas dependen de la misma variable. Por ejemplo, cuando trabajamos con el área, si ambas dimensiones se escriben en términos de la misma variable, puedes usar una ecuación cuadrática. Ya que la cantidad de un producto vendido depende del precio, a veces usas una ecuación cuadrática para representar la ganancia como un producto del precio y de la cantidad vendida. Las ecuaciones cuadráticas también se usan cuando se trata con la gravedad, como la trayectoria de una pelota o la forma de los cables en un puente colgante.
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7. Una aplicación muy común y fácil de entender es la altura de una pelota que se deja caer al suelo desde un edificio. Como la gravedad hará que la pelota se acelere al caer, una ecuación cuadrática puede usarse para estimar su altura y el tiempo que tarda en llegar al suelo. Nota: Esta ecuación no es muy precisa, porque la fricción del aire frena un poco a la pelota. Pero para nuestros propósitos, el error no es importante.
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3. El problema de área siguiente no parece incluir una fórmula cuadrática de ningún tipo y el problema se parece a algo que ya has resuelto muchas veces multiplicando. Pero para resolverlo, necesitarás una ecuación cuadrática.
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