Conjetura De Golbach

CONJETURA DE GOLDBACH

INTRODUCCIÓN

Es fácil entender la fascinación de la matemática. Después de todo es una ciencia, o un lenguaje, donde la verdad o falsedad de las proposiciones puede demostrarse con unos pocos pasos lógicos. Aceptando un conjunto, cuanto más limitado mejor, de axiomas, la belleza de un mundo perfecto de teoremas no manchados por lo cotidiano se despliega ante el practicante. La matemática es como un reino remoto muy alejado de las preocupaciones de todos los días, donde uno puede perderse, aislarse o vivir una vida relajada... o no. O al menos, así era hasta principios del siglo XX, cuando alguna de las más preciadas convicciones matemáticas se tambalearon y derrumbaron ante el terremoto de algunas nuevas demostraciones. La matemática, aunque extremadamente bella y abstracta (y esa abstracción es un componente importante de su atractivo), no era tan perfecta como parecía.

HISTORIA

El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par n como la suma de dos números primos (4 ≤ n ≤ 1, 000,000).

Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 1018. La mayor parte de los matemáticos creen que la conjetura es cierta, y se basan mayoritariamente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más «probable» que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

Sabemos que todo número par puede escribirse de forma mínima como suma de a lo más seis números primos. Como consecuencia de un trabajo de Vinográdov, todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinográdov demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos (en el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1). En 1966, Chen Jing-run mostró que todo número par lo bastante grande puede escribirse como suma de un primo y un número que tiene a lo más dos factores primos.

Con el fin de generar publicidad para el libro El tío Petros y la conjetura de Goldbach de Apostolos Doxiadis, el editor británico Tony Faber ofreció en 2000 un premio de un millón de dólares a aquel angloparlante que demostrase la conjetura antes de abril de 2002. Nadie reclamó el premio.

Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos: La conjetura 'fuerte' de Goldbach y la conjetura 'débil' de Goldbach. La que se discute aquí es la fuerte, y es la que se suele mencionar como «conjetura de Goldbach» a secas.

EL TÍO PETROS Y LA CONJETURA DE GOLDBACH

El tío Petros y la conjetura de Goldbach a pesar de su título, que engaña con sinceridad, es realmente la historia del sobrino, que crece fascinado por la figura de un enigmático anciano al que su familia de comerciantes considera una oveja negra a pesar de su indiscutible y brillante pasado como matemático. Pero tío Petros no es ahora más que un anciano que vive recluido en una casa de campo, rodeado de libros de matemática que ya no lee, y enfrascado en los problemas del ajedrez. Un poco de rebeldía juvenil se combina en el sobrino con la fascinación por el hombre hasta hacerle desear convertirse también en matemático. Pero su tío le ofrece una prueba, demostrar una simple proposición matemática. Si lo consigue, habrá probado tener talento para esa disciplina. Pero un verano de trabajo no sirve de nada, y el joven se ve obligado a firmar un documento en el que asegura que jamás estudiará matemática y parte a América para realizar sus estudios universitarios.

El problema planteado por el anciano es muy simple: demostrar que todo número par superior a dos es la suma de dos primos. Expresable en pocas palabras, es sin embargo uno de los grandes problemas no resueltos de la matemática, la conjetura de Goldbach. Cuando su compañero de cuarto llama la atención del joven al hecho de que su tío le había planteado como prueba un famoso problema no resuelto, éste estalla en cólera y decide enfrentarse al anciano.

La narración cambia después a la tercera persona, hasta ese momento el sobrino narraba en primera, y asistimos a los esfuerzos del joven y brillante matemático Petros Papachristos por resolver la conjetura de Goldbach y su fracaso. Pero la narración es misteriosa y no deja clara del todo los motivos y las razones del fracaso. ¿Qué sucedió? ¿Qué hizo realmente que Petros abandonase la búsqueda de la preciada demostración de la famosa conjetura, demostración que le hubiese garantizado la inmortalidad en el panteón de los grandes matemáticos?

Continúa así una aventura fascinante que en menos de doscientas páginas entremezcla personajes inventados con grandes matemáticos de principios de siglos (como Hardy, Ramanujan, Turing y Gödel). Es evidente en su lectura que Apostolos Doxiadis podría haber escrito un libro de historia, pero al decidir escribir una novela ha construido un ensayo sobre el placer y los peligros de la matemática.

CONJETURA DE GOLDBACH

En teoría de números, la conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Concretamente, G.H. Hardy en 1921 en su famoso discurso pronunciado en la Sociedad Matemática de Copenhage1 comentó que probablemente la conjetura de Goldbach no es sólo uno de los problemas no resueltos más difíciles de la teoría de números, sino de todas las matemáticas. Su enunciado es el siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Christian Goldbach (1742)

Cabe notar que se puede emplear dos veces el mismo número primo.

Por ejemplo,

Demostración de la conjetura de Goldbach

El 7 de junio de 1742 en una carta dirigida a Leonard Euler, Goldbach redactó:

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