Prueba de la conjetura Sheldon

[pic 3]

Prueba de  la conjetura  Sheldon

[pic 4]

Carl Pomerance  y Chris Spicer

[pic 5]

Resumen. En [3],  los  autores  introducen  el  concepto  de  un Sheldon prime,  basado  en  una  conversación  entre  varios  personajes  en la comedia de situación televisiva de la  CBS  television  The  Big  Bang  Theory. Los  autores  de  [3]  dejan  abierta  la  cuestión  de  si  73  es  el primo Sheldon único.   Este  documento   the  responde  afirmativamentea esta  pregunta. .

1. Introducción. Un Sheldon primo fue  definido por primera vez en [3] como  un  homenaje  a Sheldon Cooper, un  físico  teórico ficticio  en  el  programa de televisión  The  Big  Bang  Theory, quien afirmó que  73  es  el  mejor  número  porque  tiene  algunas propiedades aparentemente  inusuales..    En primer  lugar, tenga en cuenta  que  no  sólo  es 73 un número it namely  primo,   su  índice  en  la  secuencia  de  primos  es  el  producto  de  sus  dígitos, a saber, 21:  es  el primo 21.  Además,  invirtiendo  los  dígitos  de  73,  obtenemos    el  primo 37,  que  es  el primo 12, y 12  es  el  reverso  de  21.

Damos   una definición más formal. Para un entero  positivo  n, deje que  pn  denote  el  nés número  primo  number. Decimos    pn  tiene la propiedad del  producto  si  el  producto  de  sus dígitos  base-10  es  precisamente  n. Para  cualquier entero  positivo  x,  definimos   rev(x)  para que sea  el  entero  cuya  secuencia  de dígitos  base-10  es  el  reverso  de  los  dígitos  de  x. Por  ejemplo,  rev(1234) a 4321  y  rev(310) a 13. Decimos  p  n  satisface  la  propiedad  mirror  si  rev(pn)á  prev(n).

Definición. El  prime  pn  es  un Sheldon prime  si    satisface  tanto la propiedad  del  producto  como  la  propiedad mirror. .

En [3], se planteó was la "Conjetura de Sheldon"  que  73  es  el  único primo de  Sheldon. En  la Sección  5  demostramos    el  siguiente  resultado.

Teorema 1. La conjetura  Sheldon  sostiene:  73  es  el primo Sheldon único.  

1. EL TEMA DE NÚMERO DE PRIME Y LOS PRIMES SHELDON. Deje que elx    the  número   de números  primos  en  el  intervalo  [2,x]. Mirando  tablas  de  primos  parece    que  tienden    a  adelgazar,  cada vez más  raro  como  uno      mira a los númerosmás grandes. .  Esto  se puede  expresar  rigurosamente  por  la  afirmación de que  la lima  (x)/x - 0. De  hecho,más  es

xá

true: sabemos   la velocidad  a  la que  la  relación  á(x)/x  tiende  a  0. Este  es el teorema del número  primo: :

[pic 6],

donde "log"  es  la  funciónde logaritmo  natural. .  Este  teorema   out  fue  probado por primera vez  en 1896  independientemente  por  Hadamard y de la  Vallee  Poussin,  siguiendo un plan general  establecido por  Riemann  unos  40  años  antes  (elthe  mismo  periódico  donde  enunciaba por primera  vez  la  ahora  famosa hipótesisde Riemann). ).

En realidad  sabemos  que  (x)  es  ligeramente  mayor  que  x/logx  para  valores  grandes  de  x;de  hecho    hay  un  término secundario  x/(logx)2, un término terciario positivo, y así sucesivamente  on. La  frase  "grandes  valores  de  x" sepuede  hacer  numéricamente  explícita:Un  resultado  de  Rosser y Schoenfeld [7, (3.5)]  es  que

        [pic 7] for all x ≥ 17.        (1)

1

Esta hermosa  desigualdad  inmediatamente  nos    permite  demostrar  que ningún Primo Sheldon  supera  1045,yde  hecho,  sólo necesitamos la propiedad    del  producto  para  mostrar  esto..

Proposición 2. Si  pn  tiene  la  propiedad product ,  p  n  <  1045.

Prueba. Diga  pn  tiene  dígitos k  con  el  dígito  inicial  a. A continuación,  n,  que  es  igual  al    producto  de  los  dígitos  de  pn,  es  como máximo  un9k.1. Usando  (1),  para  pn  17,  tenemos  

[pic 8].

Pero pn  a  a10ka 1 ya que  pn  tiene  k  dígitos de largo..  Por lo tanto,  si  pn  tiene la propiedad del  producto ,  entonces se debe   satisfacer la  siguiente  desigualdad: :

[pic 9],

lo que implica  que

        [pic 10] .        (2)

Puesto que el  lado  izquierdo  crece  linealmente  en  k  y  el  lado it  derecho  crece  exponencialmente,  está  claro  que  (2)  falla  para todos los  valores  grandes  de  k. Además,  si se produce un error  en (2)  para  un valor 9,  también se produce then  un  error  para  los valores más pequeños  de  unarchivo . Un  pequeño  cálculo  y la inducción matemática  nos    permiten  ver  que  (2)  falla  para  todos los  k  46.        [pic 11]

En   la  literatura existen  estimaciones  más finas que (1) , algunas  de las cuales  se  mencionan a continuación  en la Sección  4. Sin  embargo,  no  not ofrecen  una    gran  mejora  en la Proposición  2.

En [3], los  autores  muestran  que  los  primos  p7  a  17,p21  a 73,  y  p181,440  =

2,475,989  cada uno satisfacer la propiedad del  producto. .  Esto nos  lleva  a  las  siguientes  conjeturas..

Conjetura 3. Los  únicos  primos  con la propiedad  del  producto  son  p7 a 17,p21 a 73,  y  p181,440 a 2,475,989.

Hemos   buscado    exhaustivamente  los primos  pn  con la propiedad  del  producto  para todos los  n  1010 (usando  la  función  incorporada-en  Mathematica  que  da ( el  nthth  primo), y  encontramos  sólo  los  3  ejemplos  enumerados  anteriormente..   it       Ciertamente  es    posible  extender  esta  búsqueda,  pero  parece  computacionalmente  difícil  cubrir  todo  el  territorio  hasta  to  1045. Un  ejemplo  de  un  número   difícil de analizar  es

...