Conjuntos Dependientes E Independientes En Un Espacio Lineal

Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal

DEFINICIÓN. Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llama

dependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> ••• , xi,

y un correspondiente conjunto dé escalares c1, ••• , es, no todos cero, tales que

kI

c.x¡ = O.

i=l

El conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cualesquiera

que sean los elementos distintos X¡, .•• , x« de S y los escalares c., ... , ci,

implica C1 = C2 = ... = Ck = O.

Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los conjuntos

de elementos, podemos también aplicar esas denominaciones a los elementos

mismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman elementos

independientes.

Si S es un conjunto finito, la definición anterior está de acuerdo con la dada

en el Volumen 1 para el espacio Vn• No obstante, la definición dada aquí no está

restringida a conjuntos finitos.

EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente, el mismo

S es dependiente. Esto es lógicamente equivalente a la afirmación de que todo

subconjunto de un conjunto independiente es independiente.

EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, S

es dependiente.

EJEMPLO 3. Si O E S. entonces S es dependiente

EJEMPLO 4. El conjunto vacío es independiente.

En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos dependientes

e independientes. Los ejemplos que a continuación se comentan, ilustran esos

conceptos en espacios funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental V

es el conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real.

EJEMPLO 5. Sean u,(t) = ces" t , u2(t) = sen" t, u,,(t) = 1 para todo número

real t. La identidad pitagórica prueba que u, + U2 - U3 = O, así que las tres

funciones

...