Conjuntos Dependientes E Independientes En Un Espacio Lineal

Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal

DEFINICIÓN. Un conjunto S de elementos de un espacio lineal V se llama

dependiente si existe un conjunto finito de elementos distintos de S, Xl> ••• , xi,

y un correspondiente conjunto dé escalares c1, ••• , es, no todos cero, tales que

kI

c.x¡ = O.

i=l

El conjunto S se llama independiente si no es dependiente. En tal caso, cualesquiera

que sean los elementos distintos X¡, .•• , x« de S y los escalares c., ... , ci,

implica C1 = C2 = ... = Ck = O.

Si bien la dependencia y la independencia son propiedades de los conjuntos

de elementos, podemos también aplicar esas denominaciones a los elementos

mismos. Por ejemplo, los elementos de un conjunto independiente se llaman elementos

independientes.

Si S es un conjunto finito, la definición anterior está de acuerdo con la dada

en el Volumen 1 para el espacio Vn• No obstante, la definición dada aquí no está

restringida a conjuntos finitos.

EJEMPLO 1. Si un subconjunto T de un conjunto S es dependiente, el mismo

S es dependiente. Esto es lógicamente equivalente a la afirmación de que todo

subconjunto de un conjunto independiente es independiente.

EJEMPLO 2. Si un elemento de S es el producto de otro por un escalar, S

es dependiente.

EJEMPLO 3. Si O E S. entonces S es dependiente

EJEMPLO 4. El conjunto vacío es independiente.

En el Volumen 1 fueron discutidos muchos ejemplos de conjuntos dependientes

e independientes. Los ejemplos que a continuación se comentan, ilustran esos

conceptos en espacios funcionales. En cada caso el espacio lineal fundamental V

es el conjunto de todas las funciones reales definidas en la recta real.

EJEMPLO 5. Sean u,(t) = ces" t , u2(t) = sen" t, u,,(t) = 1 para todo número

real t. La identidad pitagórica prueba que u, + U2 - U3 = O, así que las tres

funciones u,, U2, u" son dependientes.

EJEMPLO 6. Sea Uk(t) = tI. para k = O, 1, 2, ... , y t real. El conjunto

S = {un, U,, U2, ••• } es independiente. Para demostrar esto, basta demostrar que

para cada n los n + 1 polinomios Un, U,, ••• , Un son independientes. Una relación

de la forma I CkUk = O significa que

(1.1)

n

Ickt

k = O

k~O

para todo real t. Cuando t = O, encontramos que Co = O. Repitiendo el proceso,

encontramos que cada coeficiente Ck es cero.

EJEMPLO 7. Si a" ... , a; son números reales distintos, las n funciones

exponenciales

son independientes. Podemos demostrar esto por inducción sobre n. El resultado

es trivial cuando n = 1. Por consiguiente, supongamos que es válida para n - 1

funciones exponenciales y consideremos los escalares c., ... , CIl tales que

(1.2)

n

I'cke

akx = O.

k~l'

Sea aM el mayor de los n números a" ... , ano Multiplicando ambos miembros de

(1.2) por ra.;:, obtenemos

(1.3) n I cke(ak-aM)x = O.

1.=1

Si k =1= M, el número ai - aM es negativo. Por consiguiente, cuando x ~ + 00 en

la ecuación (1.3), cada término con k =1=M tiende a cero y encontramos que CM = O.

Suprimiendo el término M-ésimo de (1.2) Y aplicando la hipótesis de inducción,

encontramos que cada uno de los n - 1 restantes coeficientes ci es cero.

TEOREMA 1.5. Sea S={Xl, ... , xd un conjunto independiente que consta

de k elementos de un espacio lineal V y sea L(S) el subespacio generado por S.

Entonces todo conjunto de k+ 1 elementos rl» US) es dependiente.

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