Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente

Para otros usos de este término, véase Función lineal (desambiguación).

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y una variable independiente.

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.

: variables explicativas, independientes o regresores.

: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

Índice

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• 1 Historia

o 1.1 Etimología

• 2 El modelo de regresión lineal

• 3 Hipótesis modelo de regresión lineal clásico

• 4 Supuestos del modelo de regresión lineal

• 5 Tipos de modelos de regresión lineal

o 5.1 Regresión lineal simple

 5.1.1 Análisis

o 5.2 Regresión lineal múltiple

• 6 Rectas de regresión

• 7 Aplicaciones de la regresión lineal

o 7.1 Líneas de tendencia

o 7.2 Medicina

o 7.3 Informática

• 8 Véase también

• 9 Referencias

• 10 Bibliografía

• 11 Enlaces externos

Historia[editar]

La primera forma de regresión lineal documentada fue el método de los mínimos cuadrados que fue publicada por Legendre en 1805,1 y en dónde se incluía una versión del teorema de Gauss-Márkov.

Etimología[editar]

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, donde resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio, tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio.2 La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.

El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados en cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágiles y con un soporte teórico mucho más extenso por parte de la matemática y la estadística.

Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.

El modelo de regresión lineal[editar]

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicitas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas que generen un hiperplano de parámetros desconocidos:

(2)

donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicita, el hiperplano es una recta:

(3)

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación i-ésima (i= 1,... I) cualquiera, se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicitas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

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