Conjuntos Trabajo de Matemática

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS[pic 1][pic 2]

                    Trabajo de Matemática

Nombre: Samanta B. Espinosa R.

Aula: D305

Fecha: 2015-11-04

CONJUNTOS

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, que guardan alguna característica en común, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.  

Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Por otro lado, los conjuntos son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos, por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.

Representación de conjuntos:

• Diagramas de Venn: Este método consiste en representar los conjuntos por medio de círculos y dibujar en su interior los elementos que lo conforman.

Por ejemplo, si el conjunto A está conformado por los elementos 1,  2 y  3 podemos representarlo como se muestra en la figura.

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Si dos o más conjuntos comparten elementos también es posible usar diagramas de Venn para representar esa situación.

Supongamos que el conjunto M está conformado por las letras m, n, p y t, y que el conjunto P está conformado por las letras n, p, q y s.  Como puedes ver los conjuntos M y P comparten los elementos n y p, se pueden representar de la siguiente manera:

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Los conjuntos también pueden escribirse entre llaves ({}), o separados por comas (,). Esta representación escrita es equivalente a la representación gráfica de diagramas de Venn.

Si por ejemplo se quiere definir el conjunto F como el conformado por los elementos 1, p, z, y 3 se puede representar de las siguientes formas:

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Descripción de conjuntos por extensión

Para describir los elementos de un determinado conjunto los puedes mencionar uno a uno, a esto se conoce como descripción por extensión.  Definamos Q como el conjunto conformado por los colores del arco iris, en este caso podemos describir el conjunto Q por extensión así:

Q={rojo, naranja,amarillo,verde,azul,índigo,violeta}

Si un conjunto tiene muchos elementos puedes hacer uso de los puntos suspensivos para describir el conjunto por extensión.  Si el conjunto W está conformado por los cien primeros números, puedes representarlo de la siguiente manera:

W={1,2,3,... ,98,99,100}

En este caso no se muestran los cien elementos que conforman el conjunto.  Sin embargo, los puntos suspensivos representan todos los elementos que, por comodidad, no hemos escrito.

Descripción de conjuntos por comprensión

En algunos casos los conjuntos pueden tener una variada cantidad de elementos y la descripción por extensión resultaría muy ardua. Se puede entonces describir los conjuntos mencionando las características que comparten los elementos que los conforman.  Por ejemplo, si C es el conjunto conformado por todos los países del mundo se puede escribir:

C={x∣x es un país}

En donde la barra | se lee como "tales que".  Así, la anterior expresión se lee: "C es el conjunto de los x, tales que x es un país".  En este caso el símbolo x es usado simplemente para representar los elementos del conjunto C.

Clases de conjuntos:

• Subconjuntos: Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B.

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».

Por ejemplo A es el conjunto de las vocales y B es el conjunto formado por las vocales i,a .

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• Conjuntos vacíos: El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por ∅ o simplemente {}. Como el conjunto vacío no tiene elementos, no podemos ubicar ningún elemento en el interior de los corchetes.

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• Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.
• Conjuntos unitarios: El conjunto unitario se distingue por tener solo un elemento.  No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un gato, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento es llamado conjunto unitario.
• Conjuntos finitos: Este tipo de conjunto también se distingue por la cantidad de elementos que posee.  Un conjunto es finito si podemos contar la cantidad de elementos que lo conforman.
• Conjuntos infinitos: En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N = {1, 2, 3, ...}.

Conjuntos coordinables o equipotentes:

Se dice que dos conjuntos son coordinables o equipotentes cuando están formados por el mismo número de elementos   Para que tengas un ejemplo, supón que en una fiesta de cumpleaños existen la misma cantidad de copas de vino como de invitados.

La manera correcta de establecer si dos conjuntos son coordinables o no, es estableciendo una relación entre sus elementos.  Esta relación debe tener unas características especiales que te explicamos a continuación:

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