Matematicas Conjuntos
PAMEYOMA21 de Julio de 2013
9.338 Palabras (38 Páginas)1.942 Visitas
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
1
[ip^q)/\r]^[r^-q
1.1 PROPOSICIONES
1.2 OPERADORES LÓGICOS
1.3 PROPOSICIONES MOLECULARES 1.4 FORMAS PROPOSICIONALES
1.5 BICONDICIONAL. EQUIVALENCIAS LÓGICAS 1.6 ALGEBRA DE PROPOSICIONES
1.7 RAZONAMIENTOS
A P¡
Cotidianamente tratamos de pensar y actuar inteligentemente. Nuestras acciones están dirigidas a que sean o parezcan coherentes. Pero para situaciones formales un tanto
complicadas, nuestros argumentos elementales no nos ayudan a resolverlas. Es aquí donde entra la necesidad de considerar mecanismos abstractos para el análisis formal. La lógica
matemática nos permite hacer estos análisis, haciendo que todas las verdades de la razón sean reducidas a una especie de cálculo.
expresiones abstractas, podemos analizar la validez de argumentos o razonamientos, podemos realizar
demostraciones formales,...
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
1.1 PROPOSICIONES
OBJETIVOS:
La Lógica Matemática, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o una verdad o una falsedad. A estas expresiones se las
llaman PROPOSICIONES.
Entonces:
se les puede asignar o bien un valor de
Ejemplos
1. "Hoy es Lunes
expresión será una afirmación VERDADERA).
2. "Estoy en la clase de matemáticas
(suponga que la persona que emite esta afirmación,
de matemáticas; en este caso esta expresión será una
afirmación también VERDADERA).
3. "Estoy en España"
(suponga ahora que la persona que emite ésta frase se encuentra en Ecuador y no en España, entonces esta afirmación será una proposición FALSA).
Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos o mandatos; no son consideradas como proposiciones por la Lógica
Matemática.
Ejemplos:
¿Hiciste el deber de Matemáticas? Siéntate y estate quieto.
1.1.1 NOTACIÓN
De aquí en adelante adoptaremos los siguientes símbolos para el VALOR DE VERDAD de una proposición:
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
Los SÍMBOLOS que se adoptan para las proposiciones suelen ser las PRIMERAS LETRAS DEL ABECEDARIO en minúscula.
Ejercicio Propuesto 1.1
Indique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?:
Mañana se acabará el mundo.
Ramón Ramírez debe pagar sus deudas a menos que quiera ir a la cárcel. ¿Es feo Juan?
La edad del universo es de unos 15 mil millones de años. ¡Márchate!
Ahora bien en nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más extensas como:
No hice el deber de Matemáticas. Estoy en Ecuador y estoy feliz.
Estudio ó juego fútbol.
Si estudio entonces sacaré buena calificación en el examen.
Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas proposiciones, los llamados Conectores u Operadores lógicos.
1.2 OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
OBJETIVOS:
• Analice
e interprete
condiciones
condiciones
1.2.1 NEGACIÓN
No es verdad que
El SÍMBOLO LÓGICO que se emplea para traducirla es:
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
Aunque también se suele emplear: ~
Analicemos lo siguiente.
Ejemplos
: "Hoy es Lunes"
: "Hoy no es Lunes "
: "No está lloviendo"
(será una proposición FALSA)
Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todas estas posibilidades formamos la llamada TABLA DE VERDAD.
Que para la negación sería:
Observe que:
El operador NEGACIÓN CAMBIA EL VALOR DE
1.2.2 CONJUNCIÓN
Este operador lo tenemos cuando enlazamos proposiciones con el
En lenguaje formal se lo traduce con el SÍMBOLO:
Ejemplo
: "Tengo una moneda de 50 centavos en el bolsillo"
Entonces al suponer que:
En verdad se tiene las dos monedas (
) entonces decir "Tengo una moneda de 50 y una de
25 centavos en el bolsillo", será una VERDAD.
Si se tiene la moneda de 50 centavos y
no la de 25 centavos (
), la proposición "Tengo una
moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo", será FALSA.
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
Si no se tiene la moneda de 50 centavos y si la de 25 centavos (
), la proposición "Tengo
una moneda de 50 y una de 25 centavos en el bolsillo", será también FALSA.
Si no se tienen las dos monedas (
), la proposición "Tengo una moneda de 50 y una de 25
centavos en el bolsillo", también será FALSA.
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la conjunción sería:
Observe que:
VERDADERA
siempre
cuando
ambas
1.2.3 DISYUNCIÓN INCLUSIVA
con el término: O
Se lo traduce con el SÍMBOLO LÓGICO:
Ejemplo
Considerando las mismas proposiciones anteriores:
: "Tengo una moneda de 25 centavos en el bolsillo"
Entonces al suponer que:
En verdad se tenga
)entonces decir "Tengo una moneda de 50 o una
de 25 centavos en el bolsillo", será una VERDAD.
), la proposición "Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo", será también una VERDAD.
), la proposición "Tengo una moneda de 50 o una de 25 centavos en el bolsillo", será también una VERDAD.
Si no se tienen las dos monedas (
), la proposición "Tengo una moneda de 50 o una de 25
centavos en el bolsillo", será una FALSEDAD.
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
Por lo tanto, LA TABLA DE VERDAD para la disyunción inclusiva sería:
Note que:
La DISYUNCIÓN INCLUSIVA de dos
1.2.4 DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Seguramente usted ha expresado disyuntivas en donde se admite, lo uno ó lo otro pero no ambas cosas.
Ejemplos
1. Daniel está en España o Italia
motivo del crimen fue o bien el robo o bien la venganza"
Estos ejemplos se los puede interpretar como:
"Daniel está en España o está en Italia, pero no puede estar en ambos lugares a la vez"
"Jessica tiene una altura de 1.70 m. o una altura de 1.65 m., pero no puede tener ambas estaturas a la vez"
"El motivo del crimen fue sólo el robo o sólo la venganza"
En el último ejemplo, con el término "sólo" desechamos la idea de que el motivo del crimen sea el robo y la venganza a la vez.
Entonces el término en lenguaje común sería: "ó…ó…". Como
EL SÍMBOLO LÓGICO que se emplea para traducirla es:
. Aunque
también se emplea el símbolo
Sin embargo, la disyunción exclusiva se la traduce en término de
la disyunción inclusiva de la forma:
LA TABLA DE VERDAD para la disyunción exclusiva sería:
Moisés Villena Muñoz Lógica Matemática
Por lo tanto, se podría decir que:
proposiciones es FALSA siempre y
...