Trabajo Matematicas 2

POLITECNICO GRANCOLOMBIANO

MATEMATICAS II

SEGUNDA ENTREGA TRABAJO GRUPAL

TUTOR: RAÚL EDUARDO PIÑEROS REVELO

GRUPO No. 10

INTEGRANTES

CESAR AUGUSTO PEÑA MATEUS

NOVIEMBRE DE 2013

Dada la gráfica de la función

1. Calcule la función a trozos.

Observación: El cuarto trozo de la función es una parábola.

2. Intégrela sobre su dominio.

3.

1. Calcule la función a trozos.

Observando la gráfica podemos interpretar que:

La función tiene 3 trozos de la siguiente manera:

Primer trozo una Recta

Segundo trozo una Parábola

Tercer trozo es una función constante

Entonces calcularemos cada una de las anteriores de manera individual, así:

Recta: utilizando la ecuación de la recta de la forma y=mx+b

Dónde:

m=pendiente

b=Punto de corte con el eje y

x=punto de coordenada

y=punto de coordenada

Conocemos según la gráfica los puntos:

(-1,0) y (0,1)

Usando la fórmula para hallar m,

m=(y_2- y_1)/(x_2-x_1 )

m=(1- 0)/(0-(-1))

m=1

Conociendo m, podemos reemplazarla en la ecuación de la recta:

y=mx+b En donde tomaremos la pareja ordenadas (-1,0)

0=(1)(-1)+b

0=(1)(-1)+b

1=b

Podemos entonces decir que nuestro primer trozo de la función es:

y=f(x)=x+1

Parábola: La ecuación de una parábola es de la forma:

y=f(x)=ax^2+bx+c

Conociendo las siguientes parejas ordenadas:

(0,1) (1, y=f(x) Reemplazamos la y y hallamos c

1=f(0)

1=c Punto de corte con el eje Y

f(1)=a〖(1)〗^2+b(1)+c

f(1)=a+b+c = 0) -> Vertices (2,1) (3,4)

Sustituimos las x en la función:

Primero para conocer c (aunque la gráfica ya lo identifica pues es el punto de corte con el eje y).

f(0)=a(0)^2+b(0)+c

f(0)=c

0

f(2)=a〖(2)〗^2+b(2)+c

f(2)=a4+b2+c

f(2)=4a+2b+c = 1

f(3)=a〖(3)〗^2+b(3)+c

f(3)=a9+b(3)+c

f(3)=9a+3b+c = 4

Tenemos 3 ecuaciones y como conocemos ya el valor de c=1 lo reemplazamos en las ecuaciones.

Ahora tomamos la primera ecuación y multiplicamos en ambos lados (-3) y la restamos de la tercera ecuación

Es decir:

a +b +1 = 0 (-3)

-3a -3b -3 = 0

9a+3b +1 = 4

6a -2 = 4

Despejamos a en

6a-2=4

6a=4+2

a=6/6

a=1

Reemplazo a y c en la primera ecuación y hallamos b

a +b +c=0

1 +b +1=0

b=-1-1

b =-2

Reemplazamos los valores de a, b y c en la ecuación de la parábola.

y=f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=〖1x〗^2+(-2)x+1

Así que el segundo trozo de nuestra función es

f(x)=x^2-2x+1

El tercer trozo de la función es una constante. Mediante la observación de la gráfica podemos concluir que el tercer trozo de nuestra función es:

f(x)= 4

f(3) = 4

f(4)

...