Curvas Y Superficie De Nivel 1

CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Las curvas de nivel son aquellas aplicadas en el área de la Ingeniería para mostrar en el plano curvas isotermas, mapas topográficos de regiones montañosas que identifican las curvas de altitud de contorno de una superficie o líneas equipotenciales, por mencionar algunas. En las curvas Isotermas las líneas continuas enlazan la misma temperatura en la zona. En los mapas topográficos, si se desplazara una persona a lo largo de una curva de nivel se mantendría a la misma altitud.

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración. En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).

Si S es una superficie en el espacio de ecuación F(x,y, z) = 0, todos los pares (x,y) 2 R2 que satisfacen la ecuación F(x,y, c) = 0 definen una curva en el plano XY. A esta curva se le llama curva de nivel de la superficie S.

También nos interesa dibujar la curva como una curva en el espacio.

“la curva de nivel z = c” para indicar la curva de nivel “F(x,y, c) = 0, z = 0”. (‘Iso z’ ––el mismo

z para los x e y). A las curvas “F(x,y, c) = 0, z = c” les llamamos ‘trazas’ o ‘cortes’ de la superficie.

Consideremos la superficie de ecuación z = x2 + y2. Como z es una suma de cuadrados, z debe

ser _ 0. Vamos a dibujar las curvas de nivel correspondientes a z = 0, 1,2 y z = 3.

La curva de nivel z = 0 es el punto (0, 0,0)

La curva de nivel z = 1 es la circunferencia 1 = x2 + y2

Ejemplo 20.

La curva de nivel z = 2 es la circunferencia

2 = x2 + y2

La curva de nivel z = 3 es la circunferencia

Ejemplo Trazar algunas curvas de nivel de la función

para c = 4, c = 3, c = 0 y c = –5.

Solución

a) Para c = 4; (1)

la expresión (1) representa un punto cuando f(x,y) = c = 4

b) Para c = 3; (2)

la expresión (2) representa una circunferencia de radio r = .

c) Para c = 0; (3)

la expresión (3) representa una circunferencia de radio r = 2

d) Para c = –5; (4)

la expresión (4) representa una circunferencia de radio r = 3

La superficie es un paraboloide abierto hacia abajo, su extremo máximo está en z = 4 y las curvas de nivel de la función son círculos. Tal como se ilustra a continuación en las figuras 1, 2 y 3.

Fig 3 Mapa de contorno con los valores dados de c

Ejemplo Trazar algunas curvas de nivel de la función , para , c = –1, c = 1 y c = 4

Solución La función dada representa la superficie de un paraboloide elíptico abierto hacia arriba. Si (x, y) = (0, 0) entonces

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