Curvas y superficie de nivel

Curvas y superficie de nivel

Una curva de nivel se define como el conjunto de puntos(x,y), donde el valor de la función es una determinada constante z0.

Como se Determinan:

Para determinar las curvas de nivel se debe resolver la ecuación = c.

Cuando se tiene una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la grafica de dicha función corresponde al conjunto gr(f) := {(x, y, f(x, y)) : (x, y) 2 Dom(f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, se obtiene una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k 2 Recorrido(f). De esta manera, se obtiene el conjunto {(x, y, k) : f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k, realizando la proyección conjunta a su intersección en el plano xy, obteniendo así la curva de nivel.

Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr(f) := {(x, y, f(x, y)) : (x, y) 2 Dom(f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k 2 Recorrido(f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k) : f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano xy, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.

Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.

Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0)).

Para una función de 2 variables z = f(x , y), tenemos las curvas de nivel. Una curva de nivel es el conjunto de puntos (x , y) donde el valor de la función es una determinada constante z0. Entonces para hallar una curva de nivel se analiza f(x , y) = z0

Las curvas de nivel se grafican en z = 0 como una proyección de las curvas en el resto de los planos "z"; z = 0 corresponde al plano cartesiano (x , y).

Consideremos como ejemplo la función f(x , y) = x^2 +y^2.

- La curva de nivel correspondiente a z = 0 seria

x^2 +y^2 = 0, es decir, es el punto (x , y) = (0 , 0), que es la única solución a este caso, ya que 0^2 +0^2 = 0

- La curva de nivel correspondiente a z = 1 sería x^2 +y^2 = 1, que es la gráfica de un círculo de radio 1

- La curva

correspondiente a z = 2 sería x^2 +y^2 = 2, que es la gráfica de un círculo de radio √2

- La curva de nivel correspondiente a z = 4 sería x^2 +y^2 = 4, que es la gráfica de un círculo de radio 2

- La curva de nivel correspondiente a cualquier número negativo en esta función no existe, porque los números reales elevados al cuadrado dan como resultado un número positivo, y la suma de números positivos es otro número positivo

Si graficas varias curvas de nivel para esta función quedarán como círculos concéntricos con centro en el (0 , 0).

Curvas de nivel en la superficie z=(x2+3y2)exp(1-x2-y2).

Dada la función f(x,y)=(x2+3y2)exp(1-x2-y2), cuando c aumenta desde 0 hasta 3. Línea de tierra cuando sube el agua en una inundación:

En

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