DERIVABILIDAD RECTA TANGENTE

DERIVABILIDAD. RECTA TANGENTE.

1. Calcula el valor de a y b para que sean derivables :

[pic 1]    [pic 2]   [pic 3]  [pic 4] 

2.(J-01) Sea la función real de variable real definida por f(x)=[pic 5]

1. Razona si f(x) es continua en toda la recta real.  b) Razona si f(x) es derivable en todo ℜ.

c)  Determina el área encerrada por la gráfica de f y por las tres rectas y = 8, x = 0, x = 2.  

3. Sea f(x)= [pic 6], halla              a) Dominio de f.  

b) Valor que debe asignarse a f(0) para que f esté definida y sea continua en el intervalo [ -1/2, 1/2 ] 

4.(J-99) Se considera la función f(x)= [pic 7]Contesta, razonadamente, a las preguntas

a)¿Es continua en el punto x = 0?        b) ¿Es derivable en  x =0?      c) ¿Alcanza algún extremo?  

5. Calcula el valor de a y b para que f(x)=[pic 8]sea continua y f’(2) =0

6. Se considera la función real de variable real definida por f(x)= [pic 9], x ≠0. Calcula el valor que ha de asignarse a f(0) para que f sea continua.

7. Se considera la función definida por: f(x)= k si x ∈[0, 2];  f(x)= [pic 10] si x∉[0,2].

     a)¿Existe algún valor de k tal que f sea continua para todo x? En caso afirmativo, especifíquese.

     b)¿Existe algún valor de k tal que f sea derivable para todo x? En caso afirmativo, especifíquese

     c) Calcula [pic 11], para el valor de k obtenido en el apartado a.

8.. Halla el valor de a y b para que f(x) sea derivable en  R . Con los valores obtenidos , halla los puntos en los que la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos  A( -3 , f(-3) )  y  B( 2,f(2) )                                              

                                       [pic 12]

9. Estudia la continuidad y derivabilidad. Calcula los máximos y mínimos de g(x).

                    g(x)=[pic 13]             f(x)=    [pic 14]       

10. Halla la derivada n - ésima de la función  f(x) = [pic 15]   .  Deriva   y =  arctag [pic 16]

11. Demostrar que f(x)=[pic 17]  es derivable.

12.. Dada la parábola y = x2 - 2x + 5, se considera la recta r que une los puntos de esa parábola de abscisas x =1, x =3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a r.  

13.. Determina un punto sobre la parábola y = x2 comprendido entre los puntos A(1,1) y B(3,9) en el que la tangente a la parábola sea paralela a la recta que pasa por A y B.

14. Sea f(x) una función derivable en x = 0, tal que f(0)=0, f’(0)=1, y sea g(x) = [pic 18] si x≠0; g(0)=k. Calcula el valor de k para que g sea continua en x = 0.

15. Dada la curva de ecuación y = -x3 + 26x, calcula las rectas tangentes a la misma que sean paralelas a la recta de ecuación y = - x.

16.  Se considera la función f(x)=  [pic 19]a) Estudia si f(x) es continua en x =2.  

b) Calcula la ecuación de la recta tangente en x =3.      c) Calcula las asíntotas oblicuas.

17. Halla a, b, c para que f(x)= ax2+ b x +c pase por  (5,28), corte al eje OY en (0,3) y la recta tangente para x =5 sea una recta horizontal.

18. Calcula las rectas tangentes a la gráfica de la  función y= x3 que sean paralelas a la recta y= 3x.

19. Sea f(x)= | x2 - 2 x | , representa f(x) y calcula la ecuación de la recta tangente a f(x)  para x=1.    

20. Calcula la recta tangente a f(x)= - x3+ 26 x,  en los puntos donde sea paralela a  y + x =0  

21. Calcula el valor de a, b, c y d para que f(x)= ax3 + bx2 + cx + d pase por el punto (1, 1) en el cual la tangente es y =-x + 2, y pase por el (0,2) siendo f´ (0)=0.

22. Probar que x  +y = 0 es tangente a f(x)= x3 -6x2 +8x. Halla el punto de tangencia.

23.. Dada la función f(x)= Ln(x3+3 x2 +3x+1), halla el dominio de definición, el punto de la misma en el cual la tangente es paralela a la recta 3x - y +2=0

24. Halla los puntos de la curva y= 3x2 -5x +12 en los que la tangente a ésta pasa por (0,0). Halla dichas tangentes.

25.  Calcula el valor de b para que f(x)= x3 - 2x2 + b x tenga por tangente en el origen a la bisectriz del primer cuadrante.

GRAFICAS.

1. Dibuja la gráfica de f(x)=[pic 20] [pic 21]

2.(J-00) Sea f(x)= ax3 + bx2 + cx + d un polinomio que cumple f(1)= 0, f’(0)=2, y tiene dos extremos relativos para x =1 y x =2.

      a) Determina a, b, c y d.         b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos?  

3.( J-00)

a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0,4] que tenga al menos un máximo relativo en el punto (2,3) y un mínimo relativo en el punto (3,4).

b) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado?

4. (J-01) a) Determina los extremos relativos de la función f(x)= x2 –4x +2. Dibuja su gráfica. 

  b) Halla las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(3, -

5. Sea f(x)=ax4 + 3bx3 - 3x2 – a x. Calcula a y b para que presente dos puntos de inflexión , uno en x = 1 y otro en x = 1/2.

6. Calcula b y c para que f(x)= x3 + bx2 + cx + 1 tenga un extremo en x = 1 y un punto de inflexión en x = -1. ¿El extremo es máximo o mínimo?

7. Determina a, b y c de manera que f(x)=a / (x2+bx+c) tenga dos asíntotas verticales x=1, x=-1, y f(0)=-1. Dibuja f(x)    

8. Se considera la función f(x)= ax2 + b x +c. Determina los valores de a, b y c para los que la función f satisface todas las condiciones siguientes:

         a) f(0) = -3          b) la tangente a la gráfica de f en el punto x =0 es paralela a la recta y =2x

   b) f(x) alcanza su mínimo en el punto x = -1.

9. Calcula los valores de a, b, c y d en los casos siguientes:

a) Para que f(x)=x3+ ax2+ b x + 7 tenga un punto de inflexión en x =1 en el cual la tangente a la curva forme450con el eje OX.

b) Para que f(x)= ax3 +bx2 +cx +d  tenga un extremo en (1,4/3) y un punto de inflexión en el  origen con tangente y = 2x.

c) Para que f(x)= ax3 + bx2 + cx +d  tenga un mínimo en (0,1) y un máximo en x = 2. Probar que todas las funciones anteriores tienen un punto de inflexión con la misma abscisa.

10. Dibuja la gráfica de f(x)= [pic 22] determinando sus intervalos de crecimiento, máximos, mínimos y asíntotas.

11. Sea P(x) un polinomio de grado tres tal que  P’(2) >0;  P( -1) = 1;  P’(-1)= P’(1) = 0. Demostrar que P(1) ≠ 1. Encontrar todos los valores que puede tomar P(1) de manera que el polinomio de grado tres P(x) satisfaga las condiciones anteriores.

12. Sea [pic 23] . Halla su asíntota y calcula los puntos de corte de f(x) con la asíntota                            

13. Halla los extremos así como los intervalos de crecimiento de f(x)= sen x + cos x , [-π/2,π/2] y  de g(x)=(x3 -4x2 +7x -6 ) ex 

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