Definicion de ecuacion cuadratica

TEMA 3.2.1

DEFINICION DE ECUACION CUADRATICA

Una ecuación de segundo grado 1 2 o ecuación cuadrática, es aquella en la cual la mayor potencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.

El origen y la solución de las ecuaciones de segundo grado son de gran antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla.

En Europa: a) en Grecia las desarrolló el matemático Diofanto de Alejandría; b) el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, introdujo la solución de estas ecuaciones.

Fórmula cuadrática

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

,

donde el símbolo ± indica que los valores

y

constituyen las dos soluciones.

Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:

■ < 0: no posee soluciones reales;

■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);

■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

• Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

.

• Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

• Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

Ecuación bicuadrática

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]

1. Completa. Es la forma canónica:

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta:

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x1 = 0. En números imaginarios no hay solución.

Deducción para resolver la ecuación de la forma

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que y la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

Transponiendo n

Sumando a ambos términos

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

Extrayendo la

...