Demonstración de la Regla de L’Hospital y su aplicación para el cálculo de límites
Enviado por marianalmm • 9 de Julio de 2017 • Informes • 1.353 Palabras (6 Páginas) • 588 Visitas
Demonstración de la Regla de L’Hospital y su aplicación para el cálculo de límites
Índice
Introducción 2
Teorema de Cauchy 2
Demostración del teorema 3
Reglas y demostración de la Regla de L’Hospital 4
Un caso especial en la regla de L’Hospital 5
Resolviendo límites con la Regla de L’Hopital 6
Primer ejemplo de límite 6
Segundo ejemplo de límite 7
Tercer ejemplo de límites 7
Conclusión 8
Bibliografía 9
Introducción
La idea del tema surgió cuando estaba haciendo el tema de límites en mi clase de matemáticas. Cuando se estaba realizando y aparecía 0/0 simplemente lo dejábamos así y continuábamos; e igualmente cuando x tenia tendencia al infinito lo realizábamos de otra manera pero que no daba un resultado tan pertinente. Estaba estudiando el tema y una amiga me comentó que en Matemáticas Nivel Superior utilizaban algo llamado regla de L’Hopital. Al principio me resultó complicado pero poco a poco empecé a entender mejor, me gustó, y pensé que podría usarlo para mi exploración matemática.
La regla de L’Hospital es básicamente una regla que usa derivadas para poder evaluar limites que se dan en formas indeterminadas (lo convierten en formas determinadas). Esta regla fue publicada y debe su nombre al matemático Guillame de L’Hospital, pero se cree que la regla fue descubierta anteriormente por el matemático suizo Johan Bernoulli. El objetivo de esta exploración será justificar la regla de L’Hopital, hacer una demostración, y aplicarla para diferentes limites indeterminados ( y )[pic 1][pic 2]
Teorema de Cauchy
El teorema de Cauchy nos ayudará a poder entender mejor la regla de L’Hopital. Es una variación del Teorema del Valor Medio[1] y se define de esta manera:
Si y son continuas en y derivables en Entonces existe al menos un punto tal que:[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
[pic 8]
En el caso que y que , entonces podemos decir que:[pic 9][pic 10]
[pic 11]
Demostración del teorema
Pongamos un caso en el que tenemos una función definida por:[pic 12]
[pic 13]
En este caso y son funciones continuas en y derivables en [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
Luego, por el “Teorema de Rolle”[2], se sabe que hay un “c” que pertenece al intervalo ; por lo tanto . Entonces derivando obtenemos:[pic 18][pic 19][pic 20]
[pic 21]
Y ahora, cuando sabemos que sale:[pic 22]
[pic 23]
Por tanto se deduce:
[pic 24]
Ahora; si y , podemos escribir la expresión como:[pic 25][pic 26]
[pic 27]
Ya tenemos demostrada esta regla. Ahora, ¿cómo hallamos la regla de L’Hopital a partir de esto?
De esta manera: Tenemos esta igualdad; ahora, consideremos el caso que y se fueran y que sea reemplazado por una variable x.[pic 28][pic 29][pic 30]
Luego sabemos que ; y que es un intervalo alrededor de a, excepto en : [pic 31][pic 32][pic 33]
[pic 34]
Aquí , pero esta cerca a y además (quien depende en x) es un punto entre y .[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]
Ahora supongamos que (donde es una constante) existe.[pic 41][pic 42]
Por lo tanto también existe. Así es como obtenemos la regla de L’Hopital:[pic 43]
[pic 44]
Este caso solo se da cuando y se quitan.[pic 45][pic 46]
Reglas y demostración de la Regla de L’Hospital
Lo que hacemos normalmente cuando aprendemos acerca de cálculo diferencial es usar límites para resolver las derivadas de las funciones. De hecho, la definición de derivadas usa la noción del límite; es la pendiente alrededor de un punto conforme vamos tomando puntos más y más cercanos al punto en cuestión. En este caso haremos lo opuesto; usaremos las derivadas para resolver límites, más específicamente límites indeterminados. Por ejemplo: o .[pic 47][pic 48]
Para resolver estos límites usaremos la regla de L’Hospital. Esta regla dice 2 cosas:
- El , el y el ; entonces [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
- El , el y el ; entonces igualmente que con el otro caso la conclusión es que [pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]
Estas serán las dos formas indeterminadas que trataremos. Un ejemplo:
[pic 57]
Como se sabe . Por lo tanto quedaría . [pic 58][pic 59]
Entonces ahora debemos comprobar que el cociente de la derivada de y la de da como resultado una constante. Si la sería en este caso y seria x, se daría de este modo:[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64]
y [pic 65][pic 66]
Por lo tanto el límite es:
= [pic 67][pic 68]
Como . Entonces damos como conclusión que . Ya que hemos cumplido todas las reglas de L’Hopital esta regla nos dice que entonces que:[pic 69][pic 70]
...