Aplicacion Del Calculo

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Y SUS APLICACIONES EN LA

INGENIERÍA

INDICE:

-Generalidades. Pg (1-4)

-Etapas de resolución del problema científico. Pg (5)

.Formulación matemática del problema científico.

.Solución de las ecuaciones.

.Interpretación científica de la solución.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden y simples de

orden superior. Pg (7-30)

1. Aplicaciones a la mecánica:

1.1 Introducción.

1.2 Las leyes del movimiento de Newton.

2. Aplicaciones a los circuitos eléctricos:

2.1 Introducción.

2.2 La ley de Kirchhoff.

3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario.

4. Aplicaciones a problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

5. El cable colgante.

6. La deflexión de vigas.

-Aplicaciones de ecuaciones diferenciales lineales. Pg (31-50)

1. Movimiento vibratorio de sistemas mecánicos:

1.1 El resorte vibrante (movimiento armónico simple).

1.2 El resorte vibrante con amortiguamiento (movimiento

amortiguado).

1.3 El resorte con fuerzas externas.

1.4 La resonancia mecánica.

LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Y SU APLICACIÓN A LA INGENIERÍA

GENERALIDADES:

El descubrimiento de Newton y Leibniz en el siglo diecisiete sobre las ideas básicas

del cálculo integral fue crucial para el avance que sufrieron las matemáticas, y más

importante fue, si cabe, la relación que encontraron entre el cálculo integral y el

diferencial, ya que consiguieron fundirlos en uno solo. Una de las aplicaciones de este

descubrimiento fue la física aplicada, dícese, la Ingeniería.

El maestro de Newton, Isaac Barrow, conocía ya la existencia de la relación entre la

tangente en un punto a una curva (derivada) y el área de una región limitada de una curva

(Integral Definida), pero fueron Newton y Leibniz los que comprendieron la importancia

de esa relación.

La derivada se utilizó, en principio, para el cálculo de la tangente en un punto, y pronto se

vió que también servía para el cálculo de velocidades, y en consecuencia para el estudio

de la variación de una función.

Desde los primeros pasos en el cálculo diferencial, de todos es conocido que dada una

función y = f(x), su derivada dy/dx=f´(x), en forma de diferencial de una función de una

sola variable, es también una función que se puede encontrar mediante ciertas reglas como

el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, que nos muestra la vinculación entre la

derivada de una función y la integral de dicha función ; si F(x) es la función integral que

debe ser integrable en el intervalo [a,x] para cada x de [a,b], siendo c tal que ≤ ≤ bca

tenemos que si ∫ =

x

c

( )() dttfxF ≤ ≤ bxa , existe entonces en cada punto x del

intervalo abierto (a,b), en el que f es continua, y para tal x tenemos

quedando demostrado la relación entre Integral y Derivada.

xF )´(

= xfxF )()´(

1Las Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones en la Ingeniería

-La Derivada de la Integral de una función es la propia función:

= xfxF )()´(

-La Integral de la Derivada de una función es la propia función:

∫ =

x

a

( )´() dxxfxf

Con lo antes mencionado, a lo que se une La Regla de Barrow (que no es más que la

aplicación del teorema fundamental), es posible conseguir la función primitiva de la

función derivada xf )´( dx

dy

...