Demostración de la conservacion del momento angular en cosmos

Tenemos que el momento angular esta dado por la formula , ahora si derivamos en respecto al tiempo nos quedaría de esta forma.[pic 1]

[pic 2]

El punto de derivar es que vamos a sacar el cambio del momento angular en respecto al tiempo, es decir, ¿cómo cambia el momento angular en un periodo muy pequeño de tiempo?, ahora si fuera constante no debería haber cambia alguno, pero si existiera cambio seria variable.

Aplicamos la regla del producto: [pic 3]

[pic 4]

Aquí tenemos que el cambo del momento angular respecto al tiempo es igual a la suma de estos 2 productos vectoriales, si nos damos cuenta, la primera suma implica a la derivada del radio vector, que esta derivada sería igual a la velocidad instantánea de ese radio, y respecto a la cantidad de movimiento (), ya dijimos que era solo un producto escalar de la velocidad, por lo tanto estos 2 vectores son paralelos y su producto escalar me da 0, reemplazando esto en la ecuación nos queda así.[pic 5]

[pic 6]

Ahora a  lo vamos a reescribir acorde a la definición .[pic 7][pic 8]

[pic 9]

Como la masa es constante la podemos mover fuera de la derivada.

[pic 10]

Y como podemos observar la derivada de la velocidad sobre el tiempo es la aceleración.

[pic 11]

Gracias a la segunda ley de Newton sabemos que masa por aceleración equivale a fuerza.

[pic 12]

Anteriormente definimos torque como  y derivando nos dimos cuenta de que el torque y la derivada del momento angular respecto al tiempo son lo mismo.[pic 13]

Esta  es la gravedad que sufre el planeta en respecto al sol, y el vector de la fuerza de gravedad es contrario y paralelo al radio vector, por lo tanto.[pic 15][pic 14]

[pic 16]

Ya que la variación del momento angular es igual a cero se concluye que el momento angular se mantiene constante en todo momento en el caso de la órbita del planeta.

Ya que tenemos demostrado la constancia del modelo angular podemos proseguir a demostrar la segunda ley de Kepler.

Obviamente podríamos habernos saltado todo esto paso y saltarnos a la parte del torque como derivada del momento angular, pero es mejor saber cómo se llega a este resultado para entender bien el modelo.

La conclusión de que el momento angular sea constante es que el plano donde está la órbita estará fijado (no rotara).

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