Momento angular de un objeto rigido

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas[pic 1][pic 2]

Universidad Autónoma de Coahuila

 Unidad Campo Redondo. Saltillo, Coahuila.

    Física II

Cantidad de Momento Angular de un Objeto Rígido Giratorio

Leonardo Alvarez

Daniel Múzquiz

Andrea Vázquez

Eduardo Garza

Introducción

En la cantidad de movimiento angular de un objeto rígido giratorio se considera un objeto giratorio en torno a un eje fijo que coincide con el eje z de un sistema coordenado, como se muestra en la figura. Cada partícula del objeto da vueltas en el plano xy en torno al eje z con una velocidad angular . La magnitud de la cantidad de movimiento angular de una partícula de masa  en torno al eje z es  Ya que , la magnitud de la cantidad de movimiento angular de esta partícula se expresa como:[pic 7][pic 8][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

  (1)[pic 9]

El vector  se dirige a lo largo del eje z, como el vector .[pic 10][pic 11]

Para encontrar la cantidad de movimiento angular (en esta situación sólo tiene una componente en z) en todo el objeto al tomar la suma de  sobre todas las partículas:[pic 12]

  (2) [pic 13]

Donde  es el momento de inercia I del objeto en torno al eje z, viéndose de otra forma como:[pic 14]

  (3)[pic 15]

Ahora, al derivar la ecuación 3 respecto al tiempo, podemos notar que I es constante para un objeto rígido:

  (4)[pic 16]

Donde  es la aceleración angular relativa al eje de rotación. Ya que  es igual al momento de torsión externo neto, entonces la ecuación 4 se puede expresar como:[pic 17][pic 18]

  (5)[pic 19]

Esto significa que el momento de torsión externo neto que actúa sobre el objeto rígido giratorio respecto a un eje fijo es igual al momento de inercia en torno al eje de rotación multiplicado por la aceleración angular del objeto.

Esta ecuación también es valida para un objeto rígido giratorio en torno a un eje movimiento siempre que el eje en movimiento cumpla que 1) pase a través del centro de masa y 2) sea un eje de simetría.

Conservación del momento angular

Este principio se sigue directamente de la ecuación

[pic 20]

Por lo tanto, cuando sobre el sistema o partícula puntual la sumatoria de todos los torques es cero, entonces no hay variación en el momento angular, entonces:

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

En esta igualdad vemos que los cambios en el momento de inercia de una partícula, específicamente los cambios en cómo se distribuye la masa respecto al centro de giro, pueden aumentar o disminuir la velocidad angular, producto de la conservación del momento angular.

A continuación, expresamos la ecuación 6 para un sistema de partículas puntuales.

[pic 24]

NOTA:

En un sentido estricto,  sólo aplica a objetos rígidos de cualquier forma que dan vuelta en torno a uno o de tres ejes mutuamente perpendiculares (ejes principales) a través del centro de masa[pic 25]

Problemas

1. Un tiovivo de jardín gira con rapidez angular constante . Considera el tiovivo como un disco uniforme de 30 kg de masa y 1.2 m de radio. Una niña de 20 kg se mueve en una línea tangente al borde del tiovivo con una rapidez de 8 m/s, salta al borde del tiovivo sosteniéndose en una de sus barras. a) ¿Con que rapidez angular se mueve el tiovivo y la niña? A continuación, la niña camina radialmente hacia el interior b) ¿Cuál será su rapidez angular cuando la niña está a 0? 5 m del centro?[pic 26]

Solución:

Sabemos que:

 [pic 27]

  [pic 28][pic 29]

 [pic 30][pic 31]

 [pic 32][pic 33]

[pic 34]

Despejando:

[pic 35]

Sustituyendo los datos obtenemos como resultado que la velocidad angular final es de 1.24 rad/s

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