Desafios matemticos

1.1 Demuestre el teorema 1.2.3.

1.2 Demuestre el teorema 1.2.4.

1.3 Demuestre el teorema 1.2.5.

1.4 Los datos ICU corresponden a una muestra de 200 sujetos que hicieron parte de un estudio de supervivencia de pa-cientes que fueron remitidos a una unidad de cuidados intensivos (intensive care unit - ICU). La meta principal de este estudio fue desarrollar un modelo de regresión logístico para predecir la probabilidad de supervivencia de estos pacientes en el hospital y estudiar los factores de riesgos asociados con el índice de mortalidad ICU. En estos datos tome a la variable AGE como independiente y STA como dependiente.

1. Escriba la ecuación general para el modelo de regresión logístico de STA contra AGE y para el logit transformado de este modelo. ¿Qué características de STA nos pone a pensar que debamos considerar el modelo de regresión logístico en vez del usual modelo de regresión lineal para describir la relación entre STA y AGE?

1. Forme un diagrama de dispersión de STA contra AGE.

1. Usando los intervalos [15,24], [25,34], [35,44], [45,54], [55,64], [65,74], [75,84], [85,94] para AGE, calcule la media de STA de los sujetos dentro de cada intervalo. Grafique estos valores de la media de STA contra el punto medio del intervalo de AGE usando el mismo conjunto de ejes que se utilizaron en la parte (b).

1. Escriba una expresión para la función de verosimilitud y del logaritmo de esta función para el modelo de re-gresión logístico de (a) usando los 200 datos no agrupados. Obtenga una expresión para las dos ecuaciones de verosimilitud.

1. Usando Statgraphics obtenga las estimaciones de los parámetros del modelo de regresión logístico de (a). Usando estas estimaciones, escriba las correspondientes ecuaciones para los valores ajustados. Grafique la ecuación para los valores ajustados utilizando los mismos ejes como en (b) y (c).

(f ) Resuma (describa en palabras) los resultados presentados en la gráfica obtenida en (b), (c) y (e).

1. Usando los resultados de la salida de Statgraphics usada para la parte (e), verifique la significancia del coeficiente de AGE. ¿Qué supuestos se necesitan para realizar dicha prueba?

1. Usando los resultados de (e), halle un intervalo del 95 % de confianza para la pendiente y la constante. Escriba una interpretación con respecto al intervalo encontrado para la pendiente.

1. Obtenga la matriz de covarianzas estimada para el modelo en (e). Calcule el logit y la probabilidad logística es-timada para una persona de 60 años. Calcule un intervalo del 95 % de confianza para el logit y la probabilidad logística estimada. Interprete la probabilidad estimada y su intervalo de confianza.

1. Use un paquete estadístico para obtener el logit estimado y su error estándar para cada persona en el estudio ICU. Grafique el logit estimado y los límites del intervalo del 95 % de confianza versus AGE para cada persona. Explique (en palabras) similaridades y diferencias entre las apariencias de esta gráfica y una gráfica de una gráfica de un modelo de regresión ajustado y sus límites del intervalo del 95 % de confianza.

1.5 Considere los datos ICU. Repita el ejercicio 1.4 utilizando la variable TYP (como variable dependiente) en vez de STA.

1.6 Considere los datos ICU. Repita todos los análisis realizados en el capítulo 1, pero considerando ahora las variables AGE (como variable independiente) y STA (como variable dependiente).

1.7 Considere los datos ICU. Haga el análisis correspondiente tomando a STA como variable dependiente y a AGE, SYS y HRA como independientes.

1.8 Detalle el análisis para los datos UIS tomado a DFREE como variable dependiente y AGE, BECK y NDRUGTX como variables independientes.

1.9 Los datos PROS corresponden a un estudio realizado pacientes con cáncer de próstata para determinar si las variables medidas en un examen básico pueden ser usadas para predecir si el tumor ha penetrado la cápsula prostática. Los datos fueron recogidos teniendo en cuenta 380 individuos, 153 de los cuales tuvieron un cáncer que penetró la cápsula prostática. En estos datos, una variable que se pensó que era particularmente predicitva para para la penetración de cápsula es el nível de antígeno prostático, PSA. Repita los pasos (a)-(g) y (j) del ejercicio 1.4 usando CAPSULE como variable dependiente y utilize para PSA los intervalos [0,0; 2,4], [2,5; 4,4], [4,5; 6,4], [6,5; 8,4], [8,5; 10,4], [10,5; 12,4], [12,5; 20,4], [20,5; 140].

1.10 De todas las variables que aparecen en los datos PROS sólo considere a CAPSULE (como variable dependiente) y PSA (como variable independiente).

(a) Responda:

I. ¿Cuál es la ecuación para el modelo de regresión logística?

1. . ¿Cuál es la ecuación para la transformación logit de este modelo?

1. . ¿Qué características de la variable dependiente nos conduce a considerar la regresión logística como más apropiada que el modelo de regresión lineal para describir la relación entre las dos variables mencionadas anteriormente?

1. Calcule:

I. L (pb) en el modelo completo.

1. . L (pb) en el modelo nulo.

1. . L (pe) en el modelo saturado.

IV. L (®b) en el modelo logístico.

1. Construya intervalos del 95 % de confianza para los siguientes parámetros e interprételos (justifique en forma clara y precisa todas sus afirmaciones):

I. La pendiente ¯. ¿Es apropiado el modelo?

1. . El intercepto ±. ¿Pasa la curva de regresión logística por el origen?

1. . P (C AP SU LE Æ 1 /P S A Æ 11, 2 mg/ml).

IV. P (C AP SU LE Æ 0 /P S A Æ 11, 2 mg/ml).

V. La razón odds OR. ¿Es PSA estadísticamente significativa en el modelo?

1. Realize las siguientes pruebas de comparación de modelos resumiendo en una tabla las pruebas realizadas, el valor y la distribución muestral del estadístico de prueba, los grados de libertad, el P-valor y su decisión.

I. Nulo vs Logístico.

1. . Logístico vs Completo.

1. . Logístico vs Saturado.

1.11 Considere los datos PROS. Realize un análisis de regresión logística tomando a CAPSULE como variable dependiente y VOL como variable independiente.

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