Diagrama De Bode

Autor Título Editorial Año Ed.

K. Ogata Ingeniería de Control Moderna Prentice Hall

B. Kuo Sistemas Automáticos de Control Cecsa

Diagrama de Bode o logarítmicos

es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre del científico que lo desarrolló, Hendrik Wade Bode.

Es una herramienta muy utilizada en el análisis de circuitos en electrónica, siendo fundamental para el diseño y análisis de filtros y amplificadores.

El diagrama de magnitud de Bode dibuja el módulo de la función de transferencia (ganancia) en decibelios en función de la frecuencia (o la frecuencia angular) en escala logarítmica. Se suele emplear en procesado de señal para mostrar la respuesta en frecuencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo.

El diagrama de fase de Bode representa la fase de la función de transferencia en función de la frecuencia (o frecuencia angular) en escala logarítmica. Se puede dar en grados o en radianes. Permite evaluar el desplazamiento en fase de una señal a la salida del sistema respecto a la entrada para una frecuencia determinada. Por ejemplo, tenemos una señal Asin(ωt) a la entrada del sistema y asumimos que el sistema atenúa por un factor x y desplaza en fase −Φ. En este caso, la salida del sistema será (A/x) sin(ωt − Φ). Generalmente, este desfase es función de la frecuencia (Φ= Φ(f)); esta dependencia es lo que nos muestra el Bode. En sistemas eléctricos esta fase deberá estar acotada entre -90° y 90°.

La respuesta en amplitud y en fase de los diagramas de Bode no pueden por lo general cambiarse de forma independiente: cambiar la ganancia implica cambiar también desfase y viceversa. En sistemas de fase mínima (aquellos que tanto su sistema inverso como ellos mismos son causales y estables) se puede obtener uno a partir del otro mediante la transformada de Hilbert.

Si la función de transferencia es una función racional, entonces el diagrama de Bode se puede aproximar con segmentos rectilíneos. Estas representaciones asintóticas son útiles porque se pueden dibujar a mano siguiendo una serie de sencillas reglas (y en algunos casos se pueden predecir incluso sin dibujar la gráfica).

Esta aproximación se puede hacer más precisa corrigiendo el valor de las frecuencias de corte (“diagrama de Bode corregido”).

Corrección del diagrama de amplitud

Para corregir la aproximación dibujada en el apartado anterior:

• Donde haya un cero, dibujar un punto de valor por encima de la línea.

• Donde haya un polo, dibujar un punto de valor por debajo de la línea.

• Dibujar una curva que pase por esos puntos utilizando los segmentos rectilíneos de la aproximación a modo de asíntotas.

Este método de corrección no indica cómo trabajar con valores de o complejos. En caso de un polinomio irreducible, el mejor modo de corregir la gráfica es calcular el módulo de la función de transferencia en el polo o el cero correspondiente al polinomio irreducible, y dibujar ese punto por encima o por debajo de la línea en el valor de frecuencia angular correspondiente.

Aproximación del diagrama de fase

Sea una función de transferencia de la misma forma que la anterior:

Ahora se trata de dibujar gráficas separadas para cada polo y cero, y después unificarlas en un solo gráfico. El valor real de la fase está dado por la fórmula .

Para dibujar la aproximación, para cada polo y cero:

• si A es positivo, dibujar una línea horizontal en el valor de ordenadas correspondiente a 0 grados

• si A es negativo, dibujar una línea horizontal en 180 grados

• en cada cero ( ) aumentar la pendiente a grados por década, comenzando una década antes de que (es decir, comenzando en )

• en cada polo ( ) disminuir la pendiente a grados por década, comenzando una década antes de que (es decir, comenzando en )

• cuando la fase cambie grados (debido a un cero) o grados (por un polo) volver a eliminar la pendiente

• tras dibujar una línea para cada polo o cero, sumar todas las líneas para obtener la gráfica definitiva.

Ejemplo

Un filtro paso bajo RC, por ejemplo, tiene la siguiente respuesta en frecuencia:

La frecuencia de corte (fc) toma el valor (en hercios):

.

La aproximación lineal del diagrama consta de dos líneas agudos y centimetricos:

• para frecuencias por debajo de fc es una línea horizontal a 0 dB

• para frecuencias por encima de fc es una línea con pendiente de -20 dB por década.

Estas dos líneas se encuentran en la frecuencia de corte. Observando el gráfico se verá que a frecuencias bastante por debajo de dicha frecuencia, el circuito tendrá una atenuación de 0 decibelios. Por encima, la señal se atenuará, y a mayor frecuencia, mayor atenuación.

Aplicaciones

Los diagramas de Bode son de amplia aplicación en la Ingeniería de Control, pues permiten representar la magnitud y la fase de la función de transferencia de un sistema, sea éste eléctrico, mecánico,... Su uso se justifica en la simplicidad con que permiten, atendiendo a la forma del diagrama, sintonizar diferentes controladores (mediante el empleo de redes de adelanto o retraso, y los conceptos de margen de fase y margen de ganancia, estrechamente ligados éstos últimos a los llamados diagramas de Nyquist), y porque permiten, en un reducido espacio, representar un amplio espectro de frecuencias. En la teoría de control, ni la fase ni el argumento están acotadas salvo por características propias del sistema. En este sentido, sólo cabe esperar, si el sistema es de orden 2 tipo 0, por ejemplo, que la fase esté acotada entre 0º y -180º.

Así pues, datos importantes a obtener tras la realización del diagrama de Bode para en análisis de la estabilidad de dicho sistema son los siguientes:

• Margen de fase: Es el ángulo que le falta a la fase para llegar a los -180º cuando la ganancia es de 0dB. Si la ganancia es siempre inferior a 0dB, el margen de fase es infinito.

• Margen de ganancia: Es el valor por el que habría que multiplicar (en decimal), o sumar (en dB) a la ganancia para llegar a 0dB cuando la fase es de -180º.

El sistema representado será estable si el margen de ganancia y el margen de fase son positivos.

CRITERIO DE NYQUIST

La operación básica al aplicar el criterio de Nyquist es un Mapeo del plano S al plano F(s). Este documento presenta el criterio de estabilidad de Nyquist y sus fundamentos matemáticos. Sea el sistema de lazo cerrado que se ve en la Fig. No. 1. La función transferencia de lazo cerrado es :

Se tendrá estabilidad cuando todas las raíces de la ecuación característica

1 + G(S)H(S) = 0

estén en el semiplano izquierdo s. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta de frecuencia de lazo abierto G(jω) H(jω) a la cantidad de ceros y polos de 1 + G(s) H(s) que hay en el semiplano derecho s. Este criterio debido a H. Nyquist es ϊtil en ingeniería de control porque se puede determinar gráficamente de las curvas de respuesta de lazo abierto la estabilidad absoluta del sistema de lazo cerrado, sin necesidad de determinar los polos de lazo cerrado. Se pueden utilizar para el análisis de estabilidad las curvas de respuesta de frecuencia de lazo abierto obtenida analíticamente o experimentalmente. Esto es muy conveniente porque al diseñar un sistema de control frecuentemente sucede que para algunos componentes no se conoce la expresión matemática y solo se dispone de datos de su característica de respuesta de frecuencia.

El criterio de estabilidad de Nyquist esta basado en un teorema de la teoría de las variables complejas. Para entender el criterio primero se han de tratar los con tornos de transformación en el plano complejo.

Se supone que la función transferencia de lazo abierto G(s) H(s) es representable como una relación de polinomios en s. Para un sistema físicamente realizable, el grado del polinomio denominador de la función transferencia de lazo cerrado, debe ser mayor o igual al del polinomio numerador. Esto significa que el limite de G(s) H(s) es cero o una constante para cualquier sistema físicamente construible, al tender s hacia infinito.

Estudio preliminar.

La ecuación característica del sistema que se ve en la Fig. No.1 es

F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0

Se ha de demostrar que a un camino cerrado continuo dado en el plano s que no pasa por ningún punto singular, corresponde una curva cerrada en el plano F(s).

La cantidad y sentido de lazos o rodeos alrededor del origen en el plano F(s) por una curva cerrada, juega un papel importante en lo que sigue, pues mas adelante se ha de relacionar la cantidad y sentido de lazos o rodeos con la estabilidad del sistema.

Sea, por ejemplo, la siguiente función transferencia de lazo abierto:

La ecuación caracteristica es .

= 0

La función F(s) es analítica en cualquier parte del plano s, excepto en sus puntos singulares. Para cada punto de analiticidad en el plano s, corresponde un punto en el plano F(s). Por ejemplo, Si s = 1 + 2j, entoces F(s) es :

Entonces el punto s = 1 + 2j en el plano s se transforma en el punto 1.1 2 – 5,77j en el plano F(s).

Entonces, como se indicó antes, para un trayecto cerrado continuo dado en

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