RESPUESTA EN FRECUENCIA. DIAGRAMA DE BODE

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NÚCLEO DE ANZOÁTEGUI

ESCUELA DE INGENIERÍA Y CIENCIAS APLICADAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA

DINÁMICA DE PROCESOS E INSTRUMENTACIÓN

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RESPUESTA EN FRECUENCIA. DIAGRAMA DE BODE

Puerto La Cruz, Febrero de 2022

1. INTRODUCCIÓN

En un sistema de control se busca analizar el comportamiento preciso que existe en el procedimiento de diseño relacionado con el tiempo, aunque es posible conseguir una expresión asociada con la frecuencia, de manera que posee ciertas ventajas para la determinación de dicho sistema. Una de las técnicas más populares para determinar el análisis y diseño de los sistemas de control es por medio de las respuestas a la frecuencia, por la cualidad de que transforma las funciones de transferencia en cálculos mucho más asequibles con señales de tipo senoidal.

Entre los métodos que sirven para determinar el estudio frecuencial, se encuentra el Diagrama de Bode. El cual permite caracterizar las respuestas de un sistema en forma gráfica, este diagrama logra mostrar los parámetros representativos de las respuestas en forma de gráficas. Por medio de dicho método se puede determinar un margen de fase y de ganancia que establece una estabilidad en el sistema. En el presente informe se determinará, primero los ángulos de fase y radio de amplitud para diferentes valores dados de cada lazo de respuesta en un bloque de primer orden con una señal de tipo senoidal, mediante el uso del método gráfico de respuesta de frecuencia, a través de las herramientas de Microsoft Excel. También se hará un estudio sobre la estabilidad de los lazos de control aplicando el criterio de estabilidad de respuesta en frecuencia con el Diagrama de Bode.

Por último se determinará los valores de ajuste de los parámetros para un controlador integral derivativo (PID), aplicando el método de respuesta en frecuencia del mismo modo para el diagrama. Con el método grafico se puede observar claramente las variaciones del RA y el ángulo de fase al variar la frecuencia, éste método se utiliza para comprender el comportamiento de la variables mencionadas, y permite observar la estabilidad del lazo de control cuando ocurre una perturbación con el uso de señales de frecuencia transcritas por medio de éste método gráfico, sin necesidad de hacer uso del método analítico.

2. OBJETIVOS

1.- Determinar gráficamente  el radio de amplitud y ángulo de fase de la respuesta de un bloque de primer orden ante una perturbación de tipo senoidal, con amplitud y frecuencia definida.

2.- Analizar  la estabilidad  de lazos de control aplicando el criterio de estabilidad  de repuesta en frecuencia, diagrama de Bode.

3.- Determinar valores de ajuste de los parámetros para controladores PID, aplicando el método de respuesta en frecuencia.

1. BASES TEÓRICAS

3.1. Diagrama de Bode

El diagrama de Bode presenta la respuesta de frecuencia mediante un plano cartesiano, en el que en abscisas se representa la frecuencia (pulsación), en escala logarítmica, y en ordenadas la ganancia (módulo en dB). La ganancia se acota en unidades de dB (decibelios), por lo que si bien la escala es lineal, la correspondencia en valores de módulo resulta logarítmica.

El diagrama así descrito no informaría del ángulo de fase, por lo que normalmente viene acompañado de un segundo diagrama, constituido por un plano cartesiano con idéntico eje de abscisas (frecuencia) y con el eje de ordenadas en el que se representa, en una escala lineal, el ángulo de fase, expresado en grados sexagesimales. (Roca, 2014).

3.2. Respuesta de frecuencia: se define como la diferencia de magnitud y la fase entre las entradas y las salidas sinusoidales. En los métodos de respuesta en frecuencia, los métodos más convencionales de que disponen los ingenieros de control para análisis y diseño de sistemas de control, se varía la frecuencia de la señal de entrada dentro de un rango de interés y se estudia la respuesta resultante. (Moncada, 2005).

En los párrafos siguientes se muestra que la respuesta en frecuencia es una técnica eficaz para analizar y sintetizar los sistemas de control. Primero se cubre el desarrollo de la respuesta en cuanto a frecuencia de los sistemas de proceso y se continúa con su utilización para el análisis y la síntesis. En general, existen dos formas diferentes para generar la respuesta en frecuencia:

3.2.1. Métodos experimentales Esto consiste esencialmente en el experimento con el generador de frecuencia variable y el dispositivo de registro. La idea es realizar el experimento con diferentes frecuencias, para obtener una tabla de RA vs  y de θ  vs . Dichos métodos experimentales se cubren, con los mismos se tiene también una forma para identificar el sistema de proceso. (Smith Y Corripio, 2001).[pic 2][pic 3]

3.2.2. Transformación de la función de transferencia de circuito abierto después de una perturbación senoidal Este método consiste en utilizar la función de transferencia de lazo abierto para obtener la respuesta del sistema a una entrada senoidal. La amplitud y el ángulo de fase de la salida se pueden determinar a partir de la respuesta. (Smith Y Corripio, 2001).

3.3. Ángulo de fase (θ) Es la cantidad, en grados o radianes, en que la señal de salida se retarda o adelanta respecto a la señal de entrada. Cuando (θ) es positiva, se trata de un ángulo de adelanto; cuando (θ) es negativa, se trata de un ángulo de retardo. De la función de transferencia de primer orden que se vio anteriormente:

RA= K / √1+ 2[pic 4]

(Ec. 1)

RM= 1 / √1+ 2[pic 5]

(Ec. 2)

θ = tan-1(-)[pic 6]

(Ec. 3)

Como hacer notar que los tres términos están en función de la frecuencia de entrada. Naturalmente, cuando los procesos son diferentes, la forma en que RA (RM) y θ dependen de , también es diferente. (Smith Y Corripio, 2001).[pic 7]

3.4. Razón de amplitud (RA) Se define como la razón de la amplitud de la señal de salida respecto a la amplitud de la señal de entrada. (Smith Y Corripio, 2001). Esto es:

RA= Y0/X0.

(Ec. 4)

(Smith Y Corripio, 2001).

3.5. Razón de magnitud (RM) Se define como la división de la razón de amplitud entre la ganancia de estado estacionario. (Smith Y Corripio, 2001).

                                                             RM= RA/K                                                      (Ec. 5)

3.6. Elementos de ganancia En un elemento con ganancia pura se tiene como función de transferencia.

G(s) = K

(Ec. 6)

al sustituir iω por s, se obtiene:

G(iω) = K

(Ec. 7)

se utiliza el manejo matemático para obtener

RA = │G(iω) │ = K

(Ec. 8)

 θ = tan-1G(iω) = 0

(Ec. 9)

Es decir, el valor de RA es constante e igual al valor de la ganancia y el ángulo fase es constante e igual a 0°. (Smith Y Corripio, 2001).

3.7. Retardo de primer orden y segundo orden. Retardo de primer orden Para un retardo de primer orden, la RA y θ se representan mediante las siguientes ecuaciones:

RA= K / √  2+1[pic 8]

(Ec. 10)

RM= 1 / √  2+1[pic 9]

(Ec. 11)

θ = -tan-1()[pic 10]

(Ec. 12)

Para resumir, las características más importantes del diagrama de Bode de un retardo de primer orden son las siguientes: Gráfica de RA (RM). El gráfico RA vs se caracteriza por mostrar una asíntota de baja frecuencia de pendiente 0 y una asíntota de alta frecuencia de pendiente -1. La frecuencia de esquina, es decir la intersección entre las dos asíntotas se localiza en 1/.  En el gráfico del ángulo fase se nota que a bajas frecuencia la fase es 0°, mientras que a altas frecuencias se aproxima a -90°. En la frecuencia de esquina, el ángulo fase es de -45°. (Smith Y Corripio, 2001).[pic 11][pic 12]

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