Modelos de Ingeniería II DIAGRAMA DE BODE

Modelos de Ingeniería II

DIAGRAMA DE BODE

Permite representar la respuesta en frecuencia de un sistema  en dos gráficos conocidos como:[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Unidades

Tabla 1. Unidades utilizadas en un Diagrama de Bode.

Escalas

Tabla 2. Escalas utilizadas en un Diagrama de Bode.
Década, corresponde al rango entre w1 y su múltiplo 10w1.

1.1. Análisis  en frecuencia  de la función de transferencia para obtener el Diagrama de Bode

Para cualquier función de transferencia:

[pic 4]

La representación de  implica dos gráficas (módulo  y fase ). Son magnitudes reales, tienen significado físico.[pic 5][pic 6][pic 7]

Forma de : cociente de dos polinomios en [pic 8][pic 9]

[pic 10]

Factorizando los polinomios:

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Se representa el módulo y la fase de  factorizada:[pic 14]

[pic 15]

• Módulo

[pic 16]

• Fase

[pic 17]

Por comodidad, se escoge una representación logarítmica:

Módulo:

[pic 18]

[pic 19]

Fase:

[pic 20]

[pic 21]

Cada una de estas representaciones gráficas representa el Diagrama de Bode de Módulo y de Fase, respectivamente.

Aplicando logaritmos, se puede representar el módulo de  como suma y diferencia de factores:[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

1.2. Representación de la amplitud y fase de términos elementales de [pic 25]

[pic 26]

Módulo:

[pic 27]

Fase:

[pic 28]

Para dibujar estos diagramas, la función de transferencia se expresa en producto de los siguientes factores canónicos (siempre serán de alguna de estas 4 formas):[pic 29]

Donde q Є {-1,1}, 0 ≤ ξ ≤ 1.

Las gráficas del Diagrama de bode de estos factores, son aproximadas a:

• [B1]  F(jw) = K

Magnitud:

[pic 33]

[pic 34]

Si |K| > 1, A > 0  Amplifica

Si |K| < 1, A < 0  Atenúa

Figura 1: Gráfica de la Magnitud para F (jw) = K

Fase:

[pic 35]

[pic 36]

Si K > 0 Φ(K)= 0

[pic 37]

Si K < 0

 [pic 38]

Figura 2: Gráfico de la Fase para F(jw) = K

• [B2]  [pic 39]

Magnitud:

[pic 40]

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Figura 3: Gráfica de la Magnitud para F (jw) = jw
Recta de pendiente ±20dB/dec que pasa por 0dB en w = 1 rad/s

Fase:

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

Figura 4: Gráfico de la Fase para F (jw) = jw

• [B3] [pic 49]

Magnitud:

[pic 50]

Precisión de la aproximación en [pic 52][pic 51]

[pic 53]

 [pic 54]

[pic 55]

[pic 56][pic 57]

Figura 5: Grafico de la Magnitud para F(jw) como factor simple

Fase:

[pic 58]

Se evalúa  en 3 puntos significativos:[pic 59]

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

Figura 6: Gráfico de la Fase para F(jw) como factor simple.

• [B4]  [pic 68]

Magnitud

[pic 69]

Para todo [pic 70]

[pic 71]
Figura 7: Gráfico de la Magnitud para un F(jw) como factor cuadrático.

Fase

[pic 72]

[pic 73]

[pic 74]
Figura 8: Gráfico de la Fase para un F(jw) como factor cuadrático.

1.3. Composición gráfica de [pic 75]

Para representar  se suma gráficamente las contribuciones individuales de cada factor.[pic 76]

Ejemplo 1:

[pic 77]

a) Módulo:

[pic 78]

b) Fase:

[pic 79]

Solución.

• Representar cada término.
• Identificar regiones en cada cambio de pendiente.
• Empezar por la región más a la izquierda sumando las contribuciones de cada término.

Módulo

Tabla 2. Contribución de pendientes para el Módulo.

Fase

Tabla 3. Contribución de pendientes para la Fase

[pic 80]

Figura 9: Diagrama del Módulo

[pic 81]

Figura 10: Diagrama de Fase

Ejemplo 2:

[pic 82]

Polos y ceros no coincidentes con las décadas.

a) Módulo

[pic 83]

[pic 84]
Figura 11: Gráfica del Módulo

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