Diferenecicas Finitas

Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia

Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

DIFERENCIAS FINITAS

Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

El método de e las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones

diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acompañadas de

condiciones iniciales o de frontera.

Mediante un proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representan la

función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de

parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.

Entre las formas de discretización esta: el método de los elementos finitos, método de volúmenes

finitos, método de diferencias finitas (1-D, 2-D, 3-D, 4-D), etc.

DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D (UNIDIMENSIONAL)

Si deseamos determinar la función 5(6) que satisface una ecuación diferencial en un dominio

determinado, junto a condiciones de iniciales del problema. Se tiene que empezar por

diferenciar la variable independiente 6, para después construir una grilla o malla, con puntos

discretos igualmente espaciados, sobre el dominio establecido. Después se debe reemplazar

aquellos términos en la ecuación diferencial que involucren diferenciación por términos que

contengan operaciones algebraicas. Este proceso trae implícito una aproximación y puede

efectuarse mediante la utilización de aproximación en diferencias finitas para las derivadas en

una función.

Aproximaciones de derivadas mediante diferencias finitas (o formulas de discretización)

Aproximación en diferencias hacia adelante o forward difference de la primera derivada de

una función:

;ó<=>?@ AB CD@EF@A@: 5G(6) ≈

5(6 + ℎ) − 5(6)

ℎ

L<<M<: L = O

ℎ

2

5GG(P)O ≤

ℎ

2

RS, TME RS = max

UVWVX

|5GG(6)|

Aproximación en diferencias hacia atrás o backward difference de la primera derivada de

una función:

;ó<=>?@ [B\<B]^D@: 5G(6) ≈

5(6) − 5(6 − ℎ)

ℎ

L<<M<: L = O

ℎ

2

5GG(_)O ≤

ℎ

2

RS, TME RS = max

UVWVX

|5GG(6)|

Aproximación de diferencia central o central difference de la primera derivada de una

función:

;ó<=>?@ `BEa<@A@: 5G(6) ≈

5(6 + ℎ) − 5(6 − ℎ)

2ℎ

L<<M<: L = b

ℎc

6

5GG′(f)b ≤

ℎc

6

Rc, TME Rc = max

UVWVX

|5GGG(6)|

Aproximación a la segunda derivada de una función:

;ó<=>?@ ]B\>EA@ AB<^D@A@: 5GG(6) ≈

5(6 + ℎ) − 25(6) + 5(6 − ℎ)

ℎc

L<<M<: L = b

ℎc

12

5gh(P)b ≤

ℎc

12

Ri, TME Ri = max

UVWVX

|5gh(6)|

Demostraciones:

 Diferencias hacia adelante:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:

5(6 + ℎ) = 5(6) + ℎ5G(6) +

ℎc

2

5GG(P)

5(6 + ℎ) − 5(6)

ℎ

−

ℎ

2

5GG(P) = 5G(6)

5G(6) ≈

5(6 + ℎ) − 5(6)

ℎ

, L = O

ℎ

2

5GG(P)O

 Diferencias hacia atrás:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:

5(6 − ℎ) = 5(6) − ℎ5G(6) +

ℎc

2

5GG(_)

5(6) − 5(6 − ℎ)

ℎ

...