Distribucion Chi-cuadrado

LA DISTRIBUCION X2

Definición de la distribución chi cuadrado.

Esta prueba puede utilizarse incluso con datos medibles en una escala nominal. La hipótesis nula de la prueba Chi-cuadrado postula una distribución de probabilidad totalmente especificada como el modelo matemático de la población que ha generado la muestra.

Para realizar este contraste se disponen los datos en una tabla de frecuencias. Para cada valor o intervalo de valores se indica la frecuencia absoluta observada o empírica (Oi). A continuación, y suponiendo que la hipótesis nula es cierta, se calculan para cada valor o intervalo de valores la frecuencia absoluta que cabría esperar o frecuencia esperada (Ei=n•pi , donde n es el tamaño de la muestra y pi la probabilidad del i-ésimo valor o intervalo de valores según la hipótesis nula). El estadístico de prueba se basa en las diferencias entre la Oi y Ei y se define como:

Este estadístico tiene una distribución Chi-cuadrado con k-1 grados de libertad si n es suficientemente grande, es decir, si todas las frecuencias esperadas son mayores que 5. En la práctica se tolera un máximo del 20% de frecuencias inferiores a 5.

Si existe concordancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas el estadístico tomará un valor igual a 0; por el contrario, si existe una gran discrepancia entre estas frecuencias el estadístico tomará un valor grande y, en consecuencia, se rechazará la hipótesis nula. Así pues, la región crítica estará situada en el extremo superior de la distribución Chi-cuadrado con k-1 grados de libertad.

Características de la distribución chi cuadrado.

La forma de la distribución es asimétrica positiva, y se acerca a la distribución Normal como mayor sea el número de grados de libertad (g.l.). Ejemplo con 5 g.l.:

Las puntuaciones Ji Cuadrado no pueden tomar valores negativos.

La función de distribución de la distribución Ji Cuadrado está tabulada para algunos valores que son de interés en Estadística Inferencial.

Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

Casos en los que chi cuadrado es cero

Si todas las frecuencias observadas son iguales a la correspondiente frecuencia esperada, entonces = .

Esto ocurre sólo cuando las dos variables de la tabla son independientes; Por tanto, si hay independencia entre las dos variables de la tabla,

Cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias observadas y esperadas en la tabla, el valor de Chi cuadrado será mayor. Es decir, a mayor intensidad de la asociación entre las variables, Chi-cuadrado será mayor.

El valor de Chi-cuadrado siempre es positivo o cero (pues es suma de números positivos, ya que los denominadores de la suma son todos positivos al ser suma de números elevados al cuadrado.

En general, a mayor número de sumandos, se obtendrá un valor mayor.

la tabla de chi cuadrado

En la parte superior (filas) se encuentran las probabilidades y en la parte izquierda (columnas) los grados de libertad. En el cuerpo de la tabla, se encuentran los valores de x^2.

Por ejemplo:

¿Cuál es el valor de x^2 para 15 g.l. y para una probabilidad de 0.25?

Si queremos encontrar la probabilidad que se exceda al valor observado de x^2=13,1

El test chi-cuadrado para evaluar proporciones

En algunos estudios es necesario determinar si hay sustento estadístico en la proporción de los grupos presentes en una especie. Por lo general en Ciencias Pesqueras se evalúa la proporción por sexos, con la base que debe existir 1 macho: 1hembra, Ejemplo:

Se tienen dos pozas con camarón Cryphiops caementarius

poza 1 poza 2

Machos Hembras Machos Hembras

196 230 183 134

Cálculo x^2: Poza 1

Valores observados Valores esperados

Machos 196 213

Hembras 230 213

Total 426 426

Porcentaje de hembras y machos

Poza 1 Poza 2

Machos 46 58

Hembras 54 42

Proporción de hembras/machos

Poza 1 Poza 2

1,17:1 0,73:1

Prueba de hipótesis

HIPÓTESIS:

Ho: La frecuencia de hembras = la frecuencia de machos.

Ha: La frecuencia de hembras ≠ frecuencia de machos.

Ó

Ho: La proporción de hembras/machos = 1

Ha: La proporción de hembras/machos ≠ 1

Poza 1

Utilizamos la ecuación:

x^2calc =2,71

Poza

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