Distribución muestral de los estimadores de mínimos cuadrados
Enviado por Ana Belen Ortiz • 10 de Junio de 2017 • Resúmenes • 1.039 Palabras (5 Páginas) • 266 Visitas
SUMA DE CUADRADOS TOTAL: SST = [pic 1]
SUMA DE CUADRADOS DE LA REGRESION: SSR = [pic 2]
SUMA DE CUADRADOS RESIDUAL (O DEL ERROR): SSE = [pic 3]
Entonces, SSR= y siempre se cumple que SSE= SST – SSR = [pic 4][pic 5]
Teorema 2.1Supongamos que la regresión poblacional es y que se verifican los supuestos de la sección 1.3. Sea, así, la estimación de mínimos cuadrados de . Además, sean y como en (3) y como en el teorema 1.5. Denotemos por la varianza común de los términos de error . Entonces, un estimador insesgado de se obtiene mediante:[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]
[pic 15]
Distribución muestral de los estimadores de mínimos cuadrados
En el siguiente teorema, consideremos la distribución muestral del estimador de mínimos cuadrados del intersecto y de la pendiente de la recta de regresión poblacional.
Teorema 2.2.Denotemos y la estimación de mínimos cuadrados del intersecto y de la pendiente de la recta de regresión poblacional, respectivamente. Supongamos, otra vez que se verifican los supuestos de la sección 1.3. Sean como en el teorema 2.1 y como en (3). Entonces:[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19] a) El estimador es insesgado para y tiene varianza Un estimador insesgado de se obtiene mediante .[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24] (b) El estimador es insesgado para y tiene varianza . Un estimador insesgado de se obtiene mediante .[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29] |
[pic 30]
Teorema 2.3.Denotemos y la estimación de mínimos cuadrados del intersecto y de la pendiente de la recta de regresión poblacional, respectivamente. Si se verifican los supuestos de la sección 1.3 y además, puede asumirse que los errores tienen distribución normal, entonces, las variables aleatorias correspondientes a:[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35] y[pic 36][pic 37] Se distribuyen como una t de Student con grados de libertad, siendo y como en el teorema 2.2.[pic 38][pic 39][pic 40] |
2.2 Intervalos de confianza para la pendiente y el intersecto
La forma de los intervalos de confianza para y se muestran en el siguiente teorema:[pic 41][pic 42]
Teorema 2.4.Denotemos y la estimación de mínimos cuadrados del intersecto y de la pendiente de la recta de regresión poblacional, respectivamente. Si se verifican los supuestos de la sección 1.3 y además, puede asumirse que los errores tienen distribución normal.[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47] Sean y como en el teorema 2.2. [pic 48][pic 49] (a) Un intervalo de confianza del para se obtiene mediante:[pic 50][pic 51] [pic 52] (b) Un intervalo de confianza del para se obtiene mediante:[pic 53][pic 54] [pic 55] Aquí es el valor de una variable aleatoria que deja un área de a la derecha de la distribución t de Student con grados de libertad.[pic 56][pic 57][pic 58] |
Ejemplo 2.3Considerando la regresión de las ventas al detalle sobre la renta disponible basada en los datos presentados en la tabla 2, encuéntrese un intervalo de confianza del (a) 99% (b) 95% y (c) 90% de confianza para . Compare sus resultados.[pic 59]
SOLUCIÓN:
En ejemplos anteriores, ya habíamos calculado , y Si se busca, en consecuencia, un intervalo del 99% de confianza para , tenemos . De la tabla t de Student con grados de libertad, tenemos que . Por tanto el intervalo del 99% de confianza es:[pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]
[pic 67]
O, dicho de otro modo. Esto significa que, en el contexto del problema. El intervalo de confianza del 99% para el incremento esperado en las ventas al detalle por hogar resultante de un incremento de un dólar en la renta disponible por hogar abarca de 0,3095 a 0,4535 dólares. Los intervalos, que como ya se ha dicho, a medida que disminuye el grado de confianza, disminuye el ancho del intervalo. [pic 68]
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