EL TEOREMA DE TAYLOR

INTRODUCCION:

Sabemos que la recta tangente, como la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia (xo, f(xo)), es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto), lo que hace que la recta tangente y la curva sean prácticamente indistinguibles en las cercanías del punto de tangencia. Gráficamente podemos observar que la curva se pega "suavemente" a la recta en este entorno, de tal manera que "de todas las rectas que pasan por el punto, es esta recta la que más se parece a la curva cerca del punto".

Nótese que cerca del punto de tangencia, la curva se comporta casi linealmente, como se puede apreciar si hacemos acercamientos a la gráfica anterior

Como observamos en los problemas de diferencial, si x se encuentra "lejos" de xo, la recta tangente ya no funciona como aproximador. Parece pues natural preguntarnos por otra función (no lineal) que sirva a nuestros propósitos. La recta tangente es un polinomio de grado 1, el más sencillo tipo de función que podemos encontrar, por lo que podemos tratar de ver si es posible encontrar un polinomio de grado dos que nos sirva para aproximar nuestra función en un rango más grande que la recta tangente.

Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una parábola, es decir tratemos de encontrar de todas las parábolas que pasan por (xo, f(xo)), la que mejor aproxima a la curva, es decir tratemos de encontrar "la parábola tangente" . Nótese que la parábola tangente a una curva no es única.

Naturalmente a esta parábola P(x) = a + b(x- xo) + c(x- xo)2 debemos pedirle que pase por el punto, que tenga la misma inclinación (primera derivada) y la misma concavidad que la parábola (segunda derivada), es decir debemos pedirle:

a) P(xo) = f (xo)

b) P ' (xo) = f ' (xo)

c) P '' (xo) = f '' (xo)

Como P(xo ) = a, P'(x) = b y P''(x) = 2c, concluimos que

a = f (xo), b = f ' (xo) y c = (1/2)f ''(xo)

quedando la ecuación de la parábola que mejor aproxima a la curva en las cercanías de (xo,f(xo)), como:

En la figura de abajo, observamos gráficamente los tres sumandos de la expresión de la parábola tangente. Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y añadiéndole el tercero nos da la altura sobre la parábola tangente

Verifiquemos lo anterior en el caso particular de la función , xo = 0 y valores de x cercanos a 0

En la tabla de abajo observamos que la parábola tangente a la gráfica de f en (0,1) efectivamente es una mejor aproximación para f que la recta tangente, para valores cercanos a 0.

x 1+x

1 2 2.5 2.718281828

0.5 1.5 1.625 1.6487212707

0.3 1.3 1.345 1.34985880757

0.1 1.1 1.105 1.10517091807

0.01 1.01 1.01005 1.010050167

0.001 1.001 1.0010005 1.00100050016

LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO, EN TERMINOS DE SUS DERIVADAS

Un polinomio de grado n está completamente determinado por sus (n+1) coeficientes.

P(x) = ao + a1 (x- xo) + a2 (x- xo)2 + ... + an (x- xo)n

En lo sucesivo, expresaremos al polinomio en potencias de (x - xo) y encontraremos sus coeficientes en términos de las derivadas evaluadas en xo.

P '(x) = a1 +2 a2 (x- xo) + 3a3 (x- xo)2 + 4a4 (x-xo )3 +... + nan (x- xo)n-1

P(2)(x) = 2 a2 + (2)(3)a3 (x- xo ) + (3)(4)a4 (x-xo )2 +... + n(n-1)an (x- xo)n-2

P(3)(x) = (2)(3)a3 + (2)(3)(4)a4 (x-xo ) +... + n(n-1)(n-2)an (x- xo)n-3

.

.

.

P(n)(x) = (1)(2)...(n) an = n! an

De donde, evaluando cada una de estas derivadas en xo, obtenemos los coeficientes del polinomio:

ao = P(xo), a1 = P '(xo), , , ... , .

y en consecuencia la expresión del polinomio será:

......( I )

Observación: En base a lo anterior, podemos afirmar que, dado un polinomio cualquiera podemos expresarlo en potencias de (x-x0) para cualquier xo. Asimismo si conocemos las derivadas en un punto xo, podemos encontrar el polinomio, como se verá en los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1. Encuentre el polinomio de grado 4 que satisface:

P(2) = 3, P '(2) = 5, P (2) (2) = 4, P (3) (2) =24 y P (4) (2) =48

Solución: Para encontrar la expresión del polinomio en términos de (x-2), simplemente sustituimos xo = 2 y n = 4 en la expresión ( I ), obteniendo:

y por lo tanto el polinomio buscado es:

P(x) = 3 + 5(x-2) + 2(x-2)2 + 4(x - 2)3 + 2(x - 2)4

Ejemplo 2. Exprese al polinomio P(x) = 7x3 + x2 + 8 en potencias de (x - 1).

Solución: Evaluemos al polinomio y a sus 3 primeras derivadas en xo = 1.

P(x) = 7x3 + x2 +8 P(1) = 16

P ' (x) = 21x2 + 2x P ' (1) = 23

P (2) (x) = 42x + 2 P (2) (1) = 44

P (3) (x) = 42 P (3) (1) = 42

Sustituimos en ( I ) con xo =1 y n = 3, obteniendo la expresión buscada:

P(x) =16 + 23(x - 1) + (44/2)(x - 1)2 + (42/6)(x - 1)3

Es decir:

P(x) =16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)3

Que puede comprobarse fácilmente efectuando las operaciones, para concluir que:

7x3 + x2 +8 = 16 + 23(x - 1) + 22(x - 1)2 + 7(x - 1)3

Volviendo a la representación (I), si f no es un polinomio, obviamente no podrá representarse de la misma manera, sin embargo en vista de que para, la recta tangente, que es un polinomio de grado 1, se cumple que para x cercano a xo :

y gráficamente observamos que para x cercano a xo, la función es muy parecida a su "parábola tangente", es decir:

surge de manera natural preguntarnos si para valores cercanos a xo, se cumplirá:

y podríamos intentar verlo en algunos casos particulares. Al polinomio:

le llamaremos el POLINOMIO DE TAYLOR de grado n para f, en el punto xo.

En estos términos, la recta tangente y la parábola tangente, vienen siendo los polinomios de Taylor para f de grados 1 y 2 respectivamente.

En la siguiente tabla compararemos a la función exponencial (última columna) con los polinomios de Taylor correspondientes de grados 1 hasta 4. Obsérvese que la segunda columna corresponde a la recta tangente y la tercera columna a la parábola tangente.

x 1+x

1 2 2.5 2.666666 2.7083333 2.718281828

0.5 1.5 1.625 1.645833 1.6484375 1.6487212707

0.3 1.3 1.345 1.3495 1.3498375 1.34985880757

0.1 1.1 1.105 1.10516667 1.10517083 1.10517091807

0.01 1.01 1.01005 1.01005017 1.01005017 1.010050167

0.001 1.001 1.0010005 1.00100050000 1.00100050017 1.00100050016

Si analizamos con detenimiento la información proporcionada por esta tabla, veremos lo siguiente:

1. En cada columna, vemos que la aproximación del correspondiente polinomio de Taylor es mejor cuanto más cercano se encuentre x a 0.

2. En cada renglón, vemos que para cada valor fijo de x, no importa si está cerca o no de 0, la aproximación va mejorando conforme aumentamos el grado del polinomio de Taylor.

Una representación gráfica de esta situación se muestra a continuación para los polinomios de Taylor de grado 1,2 y 3.

Vea la siguiente animación, en la cual se representan sucesivamente los primeros 10 polinomios de Taylor, aproximándose cada vez más a las funciones:

f(x) = exp(x)

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)

El Teorema de Taylor que a continuación enunciaremos sin demostración, nos dice que bajo ciertas condiciones, una función puede ser expresarse como un polinomio de Taylor mas un cierto error, es decir

f(x) = Pn(x) + En

y además nos dirá como estimar este error.

TEOREMA DE TAYLOR. Sea f continua en [a, b] y con derivadas hasta de orden n continuas también en este intervalo cerrado; supóngase que f (n+1) (x) existe en (a,b), entonces para x y xo (a,b) se tiene:

donde En = y c es un punto que se encuentra entre x y xo.

Observación: El Teorema del valor medio es un caso particular del Teorema de Taylor, ya que para n = 0 en éste último, tenemos:

con E0 = para c entre x y xo, es decir,

f(x) = f(xo) + f ' (c) (x - xo) con c entre x y xo, o bien la conocida expresión para el Teorema del Valor Medio:

LA FORMULA DE TAYLOR Y DE MAC LAURIN

A la Expresión:

le llamaremos FORMULA DE TAYLOR DE f EN xo, y en en el caso particular de x0 = 0:

le llamaremos FORMULA DE MAC LAURIN DE f.

Ejemplo 3. Encuentre la fórmula de Mac Laurin para las siguientes funciones:

a) f(x) = senx

b) f(x) = cosx

c) f(x) = ex

Solución: Encontremos primero la fórmula de Mac Laurin para f(x) = senx.

f(x) = senx f(0) = 0

f ' (x) = cos(x) f ' (0) = 1

f (2) (x) = -senx f (2) (0) = 0

f (3) (x) = -cos(x) f (3) (0) = -1

f (4) (x) = sen(x) f (4) (0) = 0

f (5) (x) = cos(x) f (5) (0) = 1

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.

.

En general observamos

...