ELECTROTECNIA

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE FASORES

Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie, suponiendo que contiene dos elementos. La tensión y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente.

v(t)=50 sin⁡〖 ( 2.000 t-25° )〗

i(t)=8 sin⁡〖 ( 2.000 t+5° )〗

SOLUCION:

Al estar dadas la tensión y corriente con sus respectivas fases, el origen de tiempos está perfectamente determinado. Hay que hacer notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia.

Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son:

V=50/(√2)∠-25°(V)

I=8/(√2)∠-5°(A)

Aplicando la definición de impedancia se tiene:

Z=(50/(√2)∠-25°)/(8/(√2)∠-5°)=50/8∠-30°=5,4-j3,1(Ω)

que corresponde a una resistencia y un condensador conectados en serie, cuyos valores vienen dados por:

R=5,4 C=〖10〗^6μ/(3,125×2.00)=160 F

En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que el circuito es capacitivo ya que la tensión está retrasada respecto de la corriente.

El origen de tiempos puede ser cambiado. Si se toma como origen de tiempos un punto cero de la corriente, el diagrama fasorial será el mostrado en primer lugar en la figura siguiente. Si se toma como origen de tiempos la tensión el diagrama fasorial será el segundo de los representados.

Pero en ambos casos, el desfase tensión - corriente es el mismo ya que está impuesto por el argumento de la carga.

Un circuito serie de tres elementos contiene una bobina de una autoinducción L = 0,02 henrios. La tensión aplicada y la corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la figura. Sabiendo que ω = 500 rad/s, determinar los otros dos elementos del circuito.

SOLUCION:

La impedancia del circuito compuesto por los tres elementos será:

Z=(250∠-45°)/(7,91∠-(180°+63,5°) )=31,∠-71,50°=10+j 30 (Ω)

Por tanto, el circuito esta formado por una resistencia de: R =10 Ω y una reactancia inductiva total de: Xl =30 Ω

Como uno de los elementos es una bobina de L = 0,02 henrios, siendo su reactancia de:

X L1 = 0,02 x 500 = 10 Ω el tercer elemento será una bobina cuya reactancia vendrá dada por: X L2 = 30 - 10 = 20 Ω a la que le corresponde un coeficiente de autoinducción L2 dado por: X L2 = ω L2 L2 = 0,04 H

Un circuito serie se compone de una resistencia R = 8 ω y un condensador con una capacidad C = 30 μF. ¿A qué frecuencia la corriente adelanta un ángulo de 30º respecto de la tensión?

SOLUCION:

La reactancia XC del condensador viene dada por: Xc=〖10〗^6/(2×π×f×30) Ω

La impedancia del conjunto serie R-C se expresa como: Z=8-j 〖10〗^6/(2×π×f×30) Ω

Como el argumento de la impedancia es igual al desfase entre la tensión y la corriente se tiene que:

tg 30°= (〖10〗^6/(2×π×f×30))/8 f=1.10 Hz

El ángulo de fase de la impedancia de un circuito serie R-C es de - 45º a una frecuencia f1 = 500 Hz. Hallar la frecuencia a la que el módulo de la impedancia es:

a. el doble que para el valor de f1,

b. la mitad que para el valor de f1.

SOLUCION:

La impedancia se expresa por: Z = R - j X C

A la frecuencia f1 su argumento es de - 45º, es decir: tan⁡〖(-45°)=(-Xc)/R〗 R=Xc Z=R-jR=√2 R ∠ 45°

Para la frecuencia f2 a la cual el modulo es el doble del anterior se tiene: Z1=R-jXc |Z1|=√(R^2+〖Xc〗^2 )

Por lo tanto: 2√2 R=√(R^2+〖Xc〗^2 ) Xc=R√7

Teniendo en cuenta que: Xc=1/(2 π 500 C) Xc^,=1/(2 π f_2 C)

Se obtiene: Xc/(Xc^,)=R/(R√7)=(2 π f_2 C)/(2 π 500 C) f_2=189 Hz

Para la frecuencia f3 a la cual el modulo es la mitad que para f1 se tiene:

Z_2=R-jXc^(,,) (R√2)/2=√(R^2+〖Xc^(,,)〗^2 ) 〖Xc^(,,)〗^2=R^2/2

Lo que es imposible. Por lo tanto, no existe ninguna frecuencia para la cual el modulo de la impedancia sea la mitad que para la frecuencia f1.

Hallar las sumas de las tensiones de los generadores, expresados en voltios, mostrados en la figura y cuyos valores instantáneos viene dados por:

v_1 (t)=35 sin⁡〖 ( ω t+45° )〗

〖 v〗_2 (t)=100 sin⁡〖 (ω t-30° )〗

Tomar como sentido de suma, en primer lugar el sentido de v_1 (t) y en segundo lugar v_2 (t).

SOLUCION:

Los fasores correspondientes a las tensiones de los generadores serán:

v_1 (t)=35 sin⁡〖 ( ω t+45° )〗 〖 ∇〗_1=35/√2∠ 45° (V)

〖 v〗_2 (t)=100 sin⁡〖 (ω t-30° )〗 〖 ∇〗_2=100/√2∠-30° (V)

Tomando el sentido de v_1 (t) para el cálculo de la suma se tiene:

〖-∇〗_T+∇_1-∇_2=0 ∇_T=∇_(1-) ∇_2

v_T (t)=68.6 √2 sin⁡〖 ( ω t+129.61° )〗

v_T (t)=97 sin⁡〖 ( ω t+130° )〗 (V)

∇_T (t)=35/√2∠45°- 100/√2∠-30 °=68.6 ∠ 129.6° (V)

Tomando el sentido de 〖 v〗_2 (t) para el cálculo de la suma se tiene:

-∇_(T^,)+∇_2-∇_1=0 ∇_(T^,)=∇_(2-) ∇_1

v_(T^,) (t)=97 sin⁡〖 ( ω t-50° )〗 (V)

∇_T (t)=100/√2∠-30 °- 35/√2∠45°=68.6 ∠-50.38° (V)

El diagrama fasorial correspondiente a las soluciones es el mostrado en la figura.

(Método de los tres voltímetros) Para determinar las constantes r y L de una impedancia (bobina real), se conecta ésta en serie con una resistencia de 25 Ω (resistencia calibrada), y al conjunto se le aplica una fuente de tensión de 120 V, 60 Hz. Se miden las tensiones en bornas de la resistencia y de la impedancia, obteniéndose los valores:

VR = 70,8 V y VZ = 86 V.

¿ Cuáles son los valores de los parámetros, r y L, de la impedancia en cuestión? El esquema del montaje del método de los tres voltímetros es el indicado en la siguiente figura:

Primeero se fija el origen de tiempos, pues no está definido por que solo se proporcionan los valores eficaces de las tensiones en los extremos de la resistencia y de la impedancia. La única variable común a todos los elementos pasivos del circuito es la corriente que circula por todos ellos.Tomando como origen de tiempos esta corriente se tiene que: La tensión en los extremos de la resistencia V_R, esta en fase con dicha corriente; la tensión en los extremos de la parte reactiva de la impedancia desconocida V_r,esta en fase con dicha corriente; la tensión en los extremos de la parte reactiva de la impedancia desconocida V_L, está adelantada 90° respecto de dicha corriente.

Por otra parte, se sabe que la tensión total en los extremos de la impedancia desconocida V_Z, será la suma de la tensión de su parte resistiva V_r, y la tensión de su parte reactiva V_L, Por tanto, dicha tensión estará adelantada un cierto angulo, menor de 90°, respecto a la corriente. Teniendo en cuenta todo lo anterior, se configura el diagrama de la figura.

El valor de la impedancia Z vendrá dado por: Z=∇_Z/Ī

El fasor tensión z se obtendrá de:csc⁡〖(180°-β)=(〖86〗^2+〖70.8〗^2-〖120〗^2)/(2×86×70.8)〗 β=80.59°

Por tanto: ∇_Z=86 ∠ 80.59° V

El valor eficaz de la corriente se obtiene aplicando la ley de ohm a la resistencia de 25 Ω con lo que fasor vendrá dado por: : I=70.8/25=2.83 A Ī=2.83 ∠ 0° A

Por tanto: Z=(86 ∠ 80.59°)/(2.83 ∠ 0°) 30.37 ∠ 80.59° =5+j 30 Ω

R=5 Ω L=30/(2xπ×60)=80 mH

Fijando el origen de tiempos con la tensión entre los terminales de impedancia, z se obtiene el diagrama fasorial de la figura.

Tomando el origen de referencia indicado, la corriente que circula por la impedancia estará retrasada un cierto ángulo, desconocido, respecto de la tensión de referencia, ya que por tratarse de un circuito serie con una resistencia y una inductancia tendrá un carácter netamente inductivo.

La tensión, supuesta existente entre los extremos de la parte resistiva de la impedancia Vr, estará en fase con la corriente. Por el contrario, la tensión supuesta existente entre los extremos de la parte inductiva de la impedancia VL estará desfasada 90º en adelanto respecto de la corriente. Para estos dos últimos fasores se verificará que su suma Vr + VL, será igual a la tensión entre los extremos de la impedancia VZ.

La tensión entre los extremos de la resistencia, R, estará en fase con la corriente del circuito.

Por último, la suma de las tensiones correspondientes a la resistencia y a la impedancia VR+ VZ, proporcionará la tensión total VT.

Teniendo en cuenta que son conocidos los valores eficaces de las tensiones, se puede obtener, a partir del diagrama fasorial, las fases de las tensiones y en particular el desfase entre la tensión entre los extremos de

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