ESTADISTICA

PROBABILIDAD

Se usa para indicar que existe duda o incertidumbre “sobre lo que ocurrió” o “lo que ocurre” o “lo que ocurrirá”. Las situaciones que implican incertidumbre varían desde simples juegos de azar a experimentos complejos dentro de las ciencias médicas, sociales, economía, industria, negocios, seguros, etc.

Por dicho motivo se puede deducir a la Probabilidad, como un Estudio de Fenómenos “ALEATORIOS” cuyo INTERES ES DEDUCIR LAS LEYES DEL AZAR Y LOS RESULTADOS QUE ESTOS DETERMINAN.

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD

ESPACIO MUESTRAL.-

Es el conjunto total de todos los resultados posibles de un Experimento dado.

Se denota con el signo “Ω”

CLASIFICACION DEL ESPACIO MUESTRAL

 Espacio Muestral Discreto.-

Cuando se tiene un número finito de elemento o sus elementos son contables.

Ejemplo: a) lanzar una moneda b) lanzar un dado.

 ESPACIO MUESTRAL CONTINUA.-

Cuando no se puede contar sus elementos o tiene un número infinito de elementos.

El espacio se define mediante funciones

Ejemplo: a) Todos los puntos de un plano

Ejemplo: b) De un grupo de matrimonios se tiene la siguiente información:

Sea X: Edad del esposo, que está dentro del intervalo 25 <X< 60 años

Sea Y: Edad de la esposa, su intervalo es de 20 < Y< 50 años

Entonces definamos el espacio muestral para las edades de parejas de casados:

Ω = {(x, y) ε R / 25 < X < 60 y 20 < Y < 50}

Representación gráfica.

EJEMPLOS: Definir el espacio muestral de:

a) Lanzar 2 monedas.

b) Lanzar 4 monedas.

c) Lanzar 2 dados

SUCESO O EVENTO

Es un subconjunto del Espacio muestral, se representa mediante letras mayúsculas, ejemplo: A, B, D, R, Q, ETC.

Tipos de Eventos.-

1. Evento simple.- es un subconjunto unitario del espacio muestral, ya que esta representado por un solo elemento. Ejemplo:

2. Evento Compuesto.- es la unión de 2 o más eventos simples. Ejemplo:

PUNTO ELEMENTAL

Es un resultado o un elemento del espacio muestral.

FAMILIA DE EVENTOS

Se representa mediante “F”

Es el conjunto de todos los posibles eventos (sucesos) de un experimento dado.

El número de elementos de la Familia de Eventos esta dado por la base 2 elevado al número de elementos o posibles resultados. F = 2n

DIAGRAMA DE ARBOL

Nos permite determinar el número de elementos, y además quienes son los elementos del espacio muestral (Ω)

Ejemplo:

TEORIA COMBINATORIA

ARREGLO.

Dado un conjunto de “n” elementos, si se quieren formar grupos pequeños de “m” elementos donde (m < n) en los cuales interesa el ORDEN de esos elementos. (Se denota como nAm)

FORMULAS.

a) Si los elementos del conjunto NO se repiten

nAm = . n! .

(n – m)!

b) Si los elementos del conjunto se repiten

AR = nm

PERMUTACION

Si se tiene un conjunto con * n * elementos y se reordenan en * n * elementos donde interesa el ORDEN. Se denota P(n)

FORMULAS

a) Si los elementos del conjunto NO se repiten

Pn = n!

b) Si los elementos del conjunto se repiten

PR =. n! .

n1!n2!.....nk! Donde n1, n2,….nk son los elementos que se repiten

COMBINACION

Se tiene un conjunto de *n* elementos, si se quieren formar grupos de * m * elementos donde (m < n) en donde NO interesa el ORDEN de esos elementos. Se denota nCm

FORMULAS

a) Si los elementos del conjunto NO se repiten

nCm = . n! .

m!*(n-m)!

b) Si los elementos del conjunto se repiten

nCRm = .( n + m – 1)!

m!*(n - 1)!

DEFINICIONES DE PROBABILIDAD

I.- DEFINICION AXIOMATICA DE PROBABILIDAD.

Dado un espacio muestral finito, que es el conjunto universal de todos los eventos “A” relativos a un experimento aleatorio. Se denomina PROBABILIDAD a una función P que asigna a cada evento A del espacio muestral un número real P(A), que es la medida de la probabilidad del evento A, y para el cual se cumplen las siguientes condiciones:

a) La probabilidad del evento A siempre es un número positivo:

P(A) > 0

b) La probabilidad de la unión de todos los eventos del espacio muestral es igual a uno (1)

P(A1UA2UA3U.....UAk) = ∑ P(Ai) = 1

Consecuencias de los axiomas de Probabilidad:

1.- Si el evento A es igual al conjunto vació entonces

P(A = ) = 0 evento imposible es igual a cero

2.- Si el evento A es igual al espacio muestral, entonces

P(A = Ω) = 1 evento certeza es igual a 1

3. - P (A’) = 1 – P (A)

4.- Si A C B = P(A) C P (B)

5.- Para todo evento A: P(A) < 1

II.- DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD

La probabilidad de un evento es igual al número de casos favorables del evento “A” sobre el número total de posibles resultados.

P(A) = NUMERO DE CASOS FAVORABLES DEL EVENTO “A”

NUMERO TOTAL DE RESULTADOS POSIBLES

La probabilidad es un número restringido a los valores de 0 a 1 inclusive.

0 < P(A) < 1

La probabilidad igual a 1 esta asociada a la CERTEZA

La probabilidad igual a 0 esta asociada a IMPOSIBLE

NOCIONES DE CONJUNTO

1.- Unión (AU B)

2.- Intersección (A ∩ B)

3.- Complemento A’

PROBABILIDAD DE EVENTOS COMBINADOS

I. REGLA DE LA ADICION

AUB; A+B; AóB; AuB

a) EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTE

Si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia de los otros. Entonces el Eventos A y el Evento B no tienen elementos comunes y se expresa como A  B = 

Entonces La probabilidad de la suma de los eventos es:

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B )

b) EVENTOS NO EXCLUYENTE.

Donde la ocurrencia de uno cualquiera de ellos NO IMPOSIBILITA la ocurrencia de los otros.

El eventos A y el evento B tienen elementos comunes y se denota como A  B ≠ 

La probabilidad de la suma de los Eventos A y B es igual a.

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A  B)

P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB)

II. REGLA DE LA MULTIPLICACION

A ∩ B; AyB; A*B; A,B; AB

a) EVENTOS INDEPENDIENTES

Si se tienen dos eventos A y B. Se dice que el evento A y el evento B son independientes si la ocurrencia de B no es influenciado por la ocurrencia de A.

P (AB) = P ( A ) P ( B ).

b) EVENTO DEPENDIENTE

El eventos A y el evento B son dependiente cuando la ocurrencia del evento B es influenciado por la ocurrencia del evento A

Entonces. P (AB) = P (A) P (B/A)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Dado dos eventos A y B, de tal forma que la P (B) > 0. La probabilidad de que ocurra el evento A, dado que ha ocurrido el evento B, se denomina la probabilidad condicional del evento A dado el evento B y se denota P(A/B) y su formula se define como.

P (A/B) = P(A ∩ B)

P (B)

Análogamente se trabaja la probabilidad condicional de B dado A

Ejemplo.

PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL

Si se tiene un grupo de eventos A1, A2, A3,...., AK del espacio muestral. Representa una partición del espacio muestral si cumple con las siguientes condiciones.

1.- Los eventos A1, A2,..... , AK son mutuamente excluyente.

2.- La unión de los eventos A1, A2,..... , AK es igual

al espacio muestral

3.- La probabilidad de los eventos Ai es un número

Positivo P (Ai) > 0

4.- La suma de las probabilidades de los eventos Ai es

Igual a 1

TEOREMA PROBABILIDAD TOTAL

Sean los eventos E1, E2, y E3, una partición del espacio muestral, (es decir que cumple las condiciones de partición de un espacio muestral.

1.- E1 ∩ E2 = Φ, E1 ∩E3 = Φ, E2 ∩E3 = Φ

2.- E1 + E2 +E3 = Ω

3.- P(E1) > 0 , P(E2) > 0 , P(E3) >0

4.- P(E1) + P(E2) + P(E3) = 1

ENTONCES para cualquier evento A en el espacio muestral se

Cumple:

A = E1A + E2A + E3A

Entonces P(A) = P(E1)P(A/E1) + P(E2)P(A/E2) + P(E3)P(A/E3)

GENERALIZANDO LA FORMULA.

P(A) = ∑ P(Ei).P(A/Ei)

Ejemplo.

En un laboratorio hay 3 gabinetes, en el gabinete I hay 3 mouse rojos y 4 cremas, en el gabinete II hay 4 rojos y 5 cremas y el gabinete III contiene 7 rojo y 6 cremas. Si se selecciona al azar un gabinete y se saca un mouse aleatoriamente de este gabinete. Cuál es la probabilidad de que el mouse escogido sea rojo?

Solución.

TEOREMA DE BAYES

Si los eventos E1, E2,..... , EK, forman una partición del espacio muestral. Sea A un suceso cualquiera del espacio muestral, tal que la probabilidad condicional de la ocurrencia de A dado que ha ocurrido la causa Ei son conocidos. Entonces para cada i se tiene:

P(Ei/A) = . P(Ei)P(A/Ei) .

∑ P(Ei).P(A/Ei)

Ejemplo.

Se

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