ESTADÍSTICO DE PRUEBA PARA UNA ASEVERACIÓN ACERCA DE UNA MEDIA

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Prueba de una aseveración respecto de una media: δ desconocida

REQUISITOS:
1.- La muestra es aleatoria simple

2.- Se desconoce el valor de la desviación estándar poblacional δ

3.- Se satisfacen una o ambas de las siguientes condiciones:
     la población se distribuye de manera normal o n>30.

ESTADÍSTICO DE PRUEBA PARA UNA ASEVERACIÓN ACERCA DE UNA MEDIA (δ desconocida)

[pic 1]

REQUISITOS DE NORMALIDAD

El requisito de una población distribuida normalmente no es estricto, y generalmente podemos tratar a la población con si tuviera una distribución normal después de usar los datos muestrales para confirmar que no existen los valores extremos y que el histograma tenga una forma que no se aleja mucho de la normalidad.

Se dice que esta prueba t es “robusta” con respecto a su alejamiento de la normalidad, lo que significa que la prueba funciona bien si no se aleja demasiado de la forma normal.

PROPIEDADES IMPORTANTES DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

1.- La distribución t de Student difiere para tamaños de muestras distintos.

2.- Tiene la misma forma general de campana que la distribución normal estándar; su forma más ancha refleja una mayor variabilidad, lo que se espera cuando se utiliza s para estimar δ

3.- Tiene una medida de t=0

4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varía de acuerdo con el tamaño muestral y es mayor que 1.

5.- Conforme aumenta el tamaño muestral n, la distribución t de Student se acerca más a la distribución normal estándar.

    Utilice la distribución t de Student cuando se desconozca δ y cuando cualquiera o ambas de las siguientes condiciones se satisfagan:
La población se distribuye normalmente o n>30

EJEMPLO.

Control de calidad de los dulces M&M
El conjunto de datos 13 del apéndice B incluye los pesos de 13 dulces M&M rojos, elegidos al azar de una bolsa que contiene 465 M&M. A continuación se presentan los pesos (gr), los cuales tienen una media de [pic 2]=0.8635 y una desviación estándar s=0.0575 g. En el empaque se afirma que el peso neto del contenido es 396.9 g, de manera que los M&M deben tener un peso medio de al menos 396.9/465= 0.8535 g para dar la cantidad anunciada. Utilice los datos muestrales con un nivel de significancia de 0.05, para probar la aseveración que hizo un gerente de producción de que los M&M tienen en realidad una media mayor que 0.8535 g, de manera que los consumidores están recibiendo más que la cantidad indicada en la etiqueta. Utilice el método tradicional.

0.751  0.841  0.856  0.799  0.966  0.859  0.857  0.942  0.873  0.809  0.890  0.878  0.905  

SOLUCIÓN

Se trata de una muestra aleatoria simple; no estamos empleando un valor conocido de δ. El tamaño muestral es n=13, que no es mayor que 30, pero no se encuentran valores extremos, y una gráfica cuantilar normal sugiere que los pesos se distribuyen normalmente porque los puntos se acercan a la línea recta y no se muestra un patrón sistemático. Un histograma también sugeriría que los pesos se distribuyen de forma normal.

Los requisitos se satisfacen y podemos efectuar la prueba de hipótesis.
Seguiremos el procedimiento tradicional.

PASO 1: La aseveración de que la media es mayor que 0.8535 g se expresa simbólicamente como µ>0.8535

PASO 2: La alternativa (en forma simbólica) a la aseveración original es µ≤0.8535

PASO 3. Puesto que la afirmación µ>0.8535 no contiene la condición de igualdad, se convierte en hipótesis alternativa. La hipótesis nula es la aseveración de que µ=0.8535

H0: µ=0.8535
H1: µ>0.8535[pic 3]

t= = 0.626[pic 4]

Como el estadístico de prueba de t=0.626 no se localiza dentro de la región crítica, no rechazamos la hipótesis nula. (H0)

Prueba de una aseveración respecto de una desviación  estándar o de una varianza.

Requisitos

• La muestra es aleatoria simple
• La población tiene una distribución nominal

Estadístico de prueba para una aseveración acerca de δo δ2

X2=  [pic 5]

Propiedades de la distribución de chi cuadrada

• Todos los valores de X2 son no negativos y la distribución no es simétrica
• Existe una distribución x2 diferente para cada número de grados de libertad
• Todos los valores críticos se usa:
  Grado de libertad= n-1

Ejemplo

El mundo de la industria comparte esta meta común: mejorar la calidad reduciendo la variación. Los ingenieros de control de calidad deben asegurarse de que un producto tenga una media aceptable, pero también quieren producir artículos con una calidad consistente, eliminando los defectos. La Newport Botting Company ha fabricado latas de bebidas de cola con cantidades que tienen una desviación estándar de 0.051 onzas. Se prueba una nueva máquina embotelladora, y una muestra aleatoria simple de 24 latas produce las cantidades (onzas) (s=0.039 oz.)
Utilice un nivel de significancia de 0.05 para probar la aseveración de que las latas de bebidas de cola de la nueva máquina tienen cantidades con una desviación estándar menor que 0.051 oz.

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