PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL

6.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL.

En la investigación biológica es frecuente que se quiera conocer si la media poblacional de una variable aumento, disminuyó o no cambió con relación a una situación anterior. Se puede querer saber si el contenido de proteínas totales en la sangre de los animales de una población silvestre aumentó al finalizar un período en el cual la oferta de alimentos fue abundante; o si el tratamiento con una solución clorada disminuyó el número promedio de bacterias en el agua usada para el consumo humano en cierta región; o verificar si la aplicación de una droga altera el valor promedio de la presión arterial de los conejos usados en pruebas de laboratorio. La respuesta a cada una de estas situaciones se puede lograr poniendo a prueba la hipótesis nula de que la media poblacional es igual a un valor determinado, μ = μo. Sin embargo el proceso de docimasia de hipótesis para una media poblacional, al igual que en el caso de la estimación de μ, depende de varios aspectos: i) de la distribución probabilística que siga la variable estudiada; ii) del conocimiento de la varianza poblacional, y iii) del tamaño de la muestra. A continuación estudiaremos mediante ejemplos las distintas situaciones o casos que se pueden presentar en la prueba de hipótesis sobre una media poblacional.

6.4.1. Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional cuando la muestra proviene de una población distribuida normalmente y con varianza conocida.

Ejemplo 6.5. Un médico traumatólogo afirma que el contenido de calcio en los huesos de mujeres que padecen osteoporosis después de aplicársele cierto tratamiento es mayor al valor promedio observado para la población femenina que padece está enfermedad, el cual se sabe es igual a 270 mg/g con una desviación de 120 mg/g. Para probar su premisa el investigador determinó el contenido de calcio en los huesos de 36 individuos que fueron sometidos al tratamiento y pudo determinar que dicha muestra arroja un valor promedio de calcio igual a 310 mg/g. La concentración de calcio es una variable que se distribuye normalmente.

Las hipótesis de investigación son las siguientes:

Ho : El tratamiento para la osteoporosis no tiene ningún efecto

H1 : El tratamiento para la osteoporosis aumenta los niveles de calcio en los huesos.

Prueba de las hipótesis estadísticas

a. Formulación de hipótesis

Ho : μ = 270

H1 : μ > 270

b. Especificación de un valor de probabilidad crítico o nivel de significación.

Ante la ausencia de una especificación particular, se puede escoger como nivel de significación un valor de α = 0.05

c. Elección de un estadístico de la muestra y de su distribución para someter a prueba las hipótesis.

Puesto que el parámetro involucrado en la docimasia es la media poblacional μ, y la variable se distribuye normalmente con varianza conocida lo más conveniente es usar como estadístico de prueba la media muestral en su forma derivada Z.

()(Zxnμσ=−

d. Establecer una zona de aceptación para Ho.

Como H1: μ > μo se trata de una prueba de una cola hacia la derecha, siendo la zona de aceptación la siguiente:

ZA = {Z / Z < z (1−α)}

e. Cómputos necesarios.

e.1) Estadístico de prueba: ()()(310270)(12036)40202Zxnμσ=−=−==

e.2) Zona de aceptación: Z = {Z / Z < z(0.95)} = {Z / Z < 1.65}

f. Decisión.

Como z = 2 > z(0.95) = 1.65 el valor del estadístico de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo. Por lo tanto se concluye que los datos proporcionan suficiente evidencia para rechazar Ho. )

La información obtenida de la muestra permite afirmar que se tiene un 95% de confianza que el tratamiento aplicado a los pacientes enfermos de osteoporosis aumenta el nivel de calcio en los tejidos óseos.

6.4.1. Prueba de hipótesis acerca de la media poblacional cuando la muestra proviene de una población distribuida normalmente, con varianza desconocida y tamaño de muestra grande (n > 30).

Ejemplo 6.6. Un entomólogo sospecha que en cierta zona endémica para el dengue el valor de la tasa neta reproductiva (Ro) de una población del mosquito Aedes aegypti vector de dicha

enfermedad, ha cambiado en relación con el valor determinado hace 5 años el cual era igual a 205 individuos. Con tal propósito determinó el valor de Ro a 40 hembras criadas en el laboratorio y pertenecientes a una cepa desarrollada a partir de mosquitos capturados en la zona estudiada. Los resultados fueron los siguientes:

N° Ro N° Ro N° Ro N° Ro

1 228 11 201 21 141 31 144

2 173 12 212 22 169 32 226

3 182 13 162 23 163 33 228

4 197 14 282 24 159 34 192

5 205 15 216 25 192 35 205

6 260 16 181 26 231 36 237

7 233 17 249 27 257 37 223

8 289 18 174 28 174 38 226

9 158 19 196 29 206 39 182

10 199 20 220 30 149 40 195

El investigador sabe que la variable se distribuye normalmente y quiere someter a prueba su hipótesis no queriendo equivocarse en más del 5% de las veces.

Las hipótesis de investigación son las siguientes:

Ho : La tasa neta de reproducción no ha cambiado

H1 : La tasa neta de reproducción de modificó después de cinco años.

Prueba de las hipótesis estadísticas

a. Formulación de hipótesis

Ho : μ = 205

H1

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