Ecuaciones De Navier-Strokes

Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que se plantean en la mecánica de fluidos.

Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).

Una importante cuestión abierta concerniente a estas ecuaciones es la determinación de si, partiendo de unas condiciones iniciales del movimiento de fluido suave y laminar, la solución de las ecuaciones para todo instante de tiempo implica también un flujo suave y laminar. Esta pregunta constituye uno de los Problemas del Milenio que el Instituto de Matemáticas Clay premia con un millón de dólares estadounidenses a quien pueda resolverlo.

Algunos de los problemas del milenio

 P versus NP

 Conjetura de Hodge

 La hipótesis de Riemann

 Existencia de Yang-Mills y del salto de masa

 Existencia y diferenciabilidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes

 La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

 La conjetura de Poincaré (Resuelta)

Posible solucsion de Penelope (Penny) Smith en 2006 Creyó haber demostrado que existe una solución suave eterna (que no explota o produce singularidades en tiempo finito) de las ecuaciones de Navier-Stokes en 3 dimensiones. La idea de la demostración era escribir estas ecuaciones como el límite en un un sistema hiperbólico cuasilineal cuando cierto parámetro tendía a cero pero tuvo un error el error en el artículo de Penny era sutil extremadamente sutil… no se encontraba en el propio artículo. Se encontraba en su preprint anterior sobre el problema de Cauchy de las ecuaciones de Einstein. El teorema 4 de dicho artículo contenía un error (según Penny, muy sutil) a la hora de extender la validez de un teorema de comparación de soluciones de un espacio en el que es difícil demostrarlo a otro en el que ahora resulta claro que es imposible lograrlo (hay un contraeejemplo). Sin dicho teorema, el trabajo de Penny sobre las ecuaciones de Einstein y Navier-Stokes se cae por su propio peso.

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