PRINCIPALES RESULTADOS CONOCIDOS SOBRE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Resumen

Este artículo se escribe con el propósito de dar una descripción más física que la tradicional matemática a las propiedades y efectos relacionados con los fluidos, en donde el principal objetivo es hablar y discutir sobre las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, las cuales surgieron producto del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes. Además miramos que las ecuaciones de Navier-Stokes no son más que una aproximación del medio continuo, que sirven de modelo a una parcela de la Realidad, por ende, como modelo matemático, renuncian a la categórica exactitud. Sin embargo, resultan ser tan efectivas, que se olvida con frecuencia de que se tratan de un modelo.

Hay una cantidad extensa de aplicaciones para estas ecuaciones, pero por lo general su uso es conocido en la meteorología, en la aeronáutica, en la hidráulica, y muy peculiarmente en la angiología con la matematización del correr de la sangre.

Palabras Clave: Dinámica de Fluidos, Ecuaciones de Navier-Stokes, Modelo Matemático.

Abstract

This article is written in order to give a physical description that traditional mathematical properties and related fluids, where the main goal is to talk and discuss the fundamental equations of fluid dynamics equations known as effects Navier -Stokes equations, which emerged product French bridge builder Claude -Louis Navier and George Stokes Irish mathematician. Also look to the Navier -Stokes equations are only an approximation of the continuous medium, which serve as a model for a plot of Reality, therefore, as a mathematical model, categorically renounce accuracy. However, turn out to be so effective that it is often forgotten that a model are discussed.

There is an extensive amount of applications for these equations, but usually use is known in meteorology, aeronautics, in hydraulics, and very peculiarly in angiology mathematizing run with blood.

Keywords: Fluid Dynamics, Equations Navier-Stokes, Mathematical Model.

1. Introducción.

Consideradas como uno de los grandes problemas del milenio para la física y la matemática y pese a que todavía no existe una solución analítica, las ecuaciones de Navier-Stokes suponen una base para el estudio de múltiples y complejos fenómenos físicos, tal es la importancia de encontrar una solución que el instituto de clay de matemáticas ofrece la suma de us$ 1¨000.000 a quien sea capaz de encontrar la solución a las ecuaciones o en su defecto de un contraejemplo que reemplazarse las ecuaciones de Navier-Stokes.

En principio fueron obtenidas por el francés en una época en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por el famoso matemático Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente. Básicamente plantean el comportamiento de los fluidos viscosos dentro de un sistema de coordenadas y explican matemáticamente los efectos propios de su estado.

Los fluidos son unos de los componentes más difíciles de estudiar dentro de la física. Esto se debe precisamente a su incapacidad de resistir a esfuerzos cortantes (lo que provoca que tengan forma indefinida). La hipótesis de donde se parte para el desarrollo de cualquier concepto en la mecánica de fluidos es la del medio continuo, la cual sostiene que un fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a ésta.

De ahí conceptualizamos fluido como un medio continuo, es decir, agregado que se mueve (se deforma) en forma continua al transcurrir el tiempo, y forma un todo en el espacio.

Estas ecuaciones surgen al aplicar leyes de distintas áreas de la física (Segunda Ley de Newton, Primera y Segunda Ley de Termodinámica y el Principio de Conservación de la Masa) al movimiento de los fluidos, en especial viscosos. Hay una cantidad extensa de aplicaciones para estas ecuaciones, pero por lo general su uso es conocido en la meteorología, en la aeronáutica, en la hidráulica, y muy peculiarmente utilizada en la angiología.

Las ecuaciones de Navier-Stokes (N-S) modelan el comportamiento de cualquier tipo de fluido mediante la conservación de 3 cantidades, a saber: masa, cantidad de movimiento y energía. A comienzos de la era de la computación estos modelos no podían ser utilizados en simulaciones dadas su alta complejidad computacional, en su lugar se utilizaron modelos de flujo potencial y posteriormente descripciones Eulerianas. Conforme la tecnología de las computadoras fue evolucionando, estos modelos comenzaron a utilizarse cada vez con más frecuencia hasta resultar natural hoy en día simular complejos sistemas en donde los fluidos son resueltos por una formulación de Navier-Stokes.

Aunque las ecuaciones fueron formuladas en el siglo XIX, nuestro conocimiento acerca de ellas sigue siendo mínimo. El desafío es hacer un progreso sustancial hacia una teoría matemática en donde se descubran los secretos ocultos en las ecuaciones de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes se definen en un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el comportamiento de un fluido dentro de un sistema. Surgen a partir de la demostración de Daniel Bernoulli, acerca de cómo adaptar los métodos del cálculo para analizar cómo fluyen los fluidos. Gracias a esta formulación, Euler formula un conjunto de ecuaciones cuyas soluciones describen el movimiento de un fluido hipotético no viscoso. Y luego Navier las modifica para abarcar un caso más realista de fluidos para que luego la teoría sea extendida por Stokes.

Los principios de los que parten estas ecuaciones son:

1. El de conservación de la cantidad de movimiento.

2. El de conservación de la masa.

3. La hipótesis de incompresibilidad.

4. Primera y segunda ley de termodinámica.

A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia

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