Ecuaciones De Navier-stokes

ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Resumen: Claude-Louis Navier y George Stokes reformularon el modelo que explicaba la mecánica de fluidos propuesto por Euler, introdujeron el termino de viscosidad al modelo euleriano dando como resultado las ecuaciones de Navier-Stokes, usadas para la descripción del movimiento de fluidos newtonianos presentes en complejos fenómenos físicos, sin embargo todavía no existen soluciones exactas para las ecuaciones, se requiere el uso de análisis y métodos numéricos para llegar a soluciones aproximadas con fluidos de poca complejidad.

Palabras clave: Mecánica de fluidos, Ecuaciones de Navier-Stokes, Soluciones.

I. INTRODUCCION

Consideradas como uno de los grandes problemas del milenio para la física y la matemática y pese a que todavía no existe una solución analítica, las ecuaciones de Navier-Stokes suponen una base para el estudio de múltiples y complejos fenómenos físicos, tal es la importancia de encontrar una solución que el instituto Clay de matemáticas ofrece la suma de us$ 1’000.000 a quien sea capaz de encontrar la solución a las ecuaciones o en su defecto de un contraejemplo que reemplazare las ecuaciones de Navier-Stokes[1].

Este artículo presenta los resultados del estudio que tuvo como marco las ecuaciones de Navier-Stokes, el estudio incluye 3 aspectos: ¿Qué y cuáles son las ecuaciones de Navier-Stokes? ¿Qué modelan las ecuaciones de Navier-Stokes? y ¿Cuáles métodos se usan hasta ahora para dar soluciones aproximadas a las ecuaciones de Navier-Stokes?

II ¿QUÉ SON LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES?

El estudio de la dinámica de fluidos empieza con Isaac Newton, cuando aplico los principios de su mecánica al movimiento de los fluidos, dando como resultado ese estudio la ley de viscosidad, también por sus estudios aquellos fluidos con un esfuerzo cortante lineal a la tasa de deformación se le llaman newtonianos (también son llamados así porque su viscosidad es constante en el tiempo [2]).

Después de Newton, Leonhard Euler escribió las primeras ecuaciones diferenciales que describían y modelaban el movimiento de un fluido ideal, un fluido ideal es aquel que no tiene viscosidad, siguiendo los aportes de Newton Euler supo aplicar la segunda ley de Newton de la mecánica a los fluidos, pudiendo determinar la aceleración de cualquier parte infinitesimal de un fluido ideal, los fluidos ideales en la realidad no existen, pese a esto las ecuaciones de Euler sentaron bases importantes en los posteriores estudios y teorías sobre la mecánica de los fluidos.

Casi un siglo después de que Euler formulara su teoría matemática que describía los fluidos ideales, Navier introdujo el término de viscosidad al modelo Euleriano acercando mas a la realidad el estudio de la mecánica de fluidos e independientemente Stokes hizo lo mismo llegando finalmente a una serie de ecuaciones que recibieron el nombre de Navier-Stokes que modelaban el movimiento de un fluido newtoniano. Estas ecuaciones rigen el movimiento de las corrientes oceánicas, de los fluidos alrededor de vehículos y en general de cualquier fluido newtoniano.

A. Características del fluido que modelaran las ecuaciones de Navier-Stokes

Ahora consideren un fluido que ocupa un dominio D, perteneciente a R o R^3, asumiendo la hipótesis del continuo que dice que en cada punto del dominio hay fluido. A cada tiempo t las partículas del fluido tienen una correspondencia biyectiva con las coordenadas x=(x_1,x_2,x_3) perteneciente a D, se caracteriza el fluido por las siguientes funciones:

Campo de velocidades:

v(x,t)=(v_1 (x,t),v_2 (x,t),v_3 (x,t))

Que determina la velocidad de una partícula en cualquier punto x perteneciente a D y en cualquier t.

Las presiones: p=p(x,t)

La densidad: ρ=ρ(x,t) del fluido

Las ecuaciones de Navier-Stokes pretenden modelar la evolución de estas cantidades a partir de la segunda ley de Newton que asocia la aceleración de las partículas con las fuerzas que actúan sobre ellas (las variaciones espaciales de la presión, viscosidad, rozamiento entre moléculas, y otras posibles fuerzas externas como la gravitatoria). [3]

Las ecuaciones de Navier-Stokes, no se concentran en una posición sino en un campo de velocidades que servirán para describir su movimiento teniendo en cuenta el mayor número de fuerzas que puedan intervenir en un fluido. Las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta las siguientes variables:

μ ⃗,Es la velocidad del fluido.

ρ,Es la densidad del fluido.

p,Presion que el fluido ejerce.

g,Este termino relaciona la aceleracion

de la gravedad y en algunos casos

relaciona otras fuerzas externas.

v,Velocidad cinematica. [2]

μ ⃗ Es la viscosidad dinámica y expresa la facilidad que tiene un fluido para desplazarse cuando se le aplica una fuerza externa. Con los componentes definidos, ahora se describe la siguiente ecuación como la general de Navier-Stokes.

ρ(∂v/∂t+v∙∇v)=-∇p+∇∙T+f Ec.1

Donde T es la relación de las fuerzas iteradas en el fluido, el fluido se considera incomprensible cuyo campo de velocidades satisface la siguiente relación que ∇∙μ ⃗=0 por lo que T=∇^2∙μ ⃗ que reemplazándolo en la ecuación 1 da como resultado la siguiente ecuación:

(∂μ ⃗)/∂t+μ ⃗∙∇μ ⃗+1/ρ ∇p=g+v∇^2∙μ ⃗ Ec.2

Teniendo en cuanto la condición ∇∙μ ⃗=0 que garantiza la incomprensibilidad del campo velocidad y teniendo en cuenta los demás aspectos de las ecuaciones, se reducirá la ecuación 2 en las siguientes ecuaciones:

(∂μ ⃗)/∂t=-(μ ⃗∇) μ ⃗+v∇^2 μ ⃗+f ⃗ Ec.3

(∂μ ⃗)/∂t=-(μ ⃗∇)ρ+k∇^2 ρ+S Ec.4

La ecuación 3 describe la velocidad y la ecuación 4 hace referencia a la densidad a través de un campo vectorial. Estas son no lineales y una

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