Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales de sistemas mecánicos (masa-resorte)

En general cuando se habla de ecuaciones diferenciales lo relacionamos con dolores de cabeza, y más aun cuando deseamos aplicarlas en situaciones prácticas. El objetivo del presente es hacer un poco más claro el hecho de cómo obtener las ecuaciones diferenciales que representan a un sistema mecánico. Partiendo del diagrama siguiente.

Obtendremos la ecuación diferencial que describe a dicho sistema, en primer lugar se debe de tener presente la segunda ley de Newton la cual nos dice que

F=ma

Para este caso la masa m es la que cuenta el bloque sujeto al resorte, la aceleración, como sabemos de nuestros cursos de cálculo es la segunda derivada del desplazamiento x(t) (lo que se mueve la masa).

Imaginemos que sujetamos la masa con las manos y la jalamos con una cierta fuerza, esta fuerza es F, aparte de que también existe la fuerza de gravedad g, al hacer esto sentiremos una fuerza contraria por la acción del resorte con una constante k, (la cual se opone a la fuerza que estamos aplicando).

Teniendo en mente lo anterior y dándole a la segunda ley de Newton la siguiente forma.

ma=∑▒F (masa por aceleración igual a la suma de fuerzas)

Entonces, como se menciono anteriormente la aceleración es la segunda derivada de x(t), y la constante del resorte se relaciona con el desplazamiento x(t) por lo que.

ma=∑▒F

m (d^2 x(t))/〖dt〗^2 =-kx(t)+F+g

La ecuación anterior representa al sistema masa-resorte

Imagen tomada de: http://www.azimadli.com/vibman-spanish/_glennespanol-2.png

Ecuaciones diferenciales de sistemas mecánicos (masa-resorte-amortiguador)

Para este caso se sigue el mismo enfoque que el anterior, a diferencia ya se cuenta con un amortiguador con constante c, y el sentido de la fuerza comprime tanto al resorte como al amortiguador reaccionando con una fuerza contraria, x es el desplazamiento, como se sabe el resorte está relacionado con el desplazamiento, y el amortiguador se relaciona con la velocidad, la cual es la primera derivada del desplazamiento. Al aplicar la segunda ley de Newton, se tiene.

ma=∑▒F

m (d^2 x(t))/〖dt〗^2 =-kx(t)-c (dx(t))/dt+F

La cual es la ecuación del sistema masa-resorte-amortiguador

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