Ecuaciones Diferenciales
omar34452 de Diciembre de 2013
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Breve historia de las ecuaciones diferenciales
Estas notas pretenden mostrar una breve
historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha
pretendido dar m´as ´enfasis a las ideas que a
las biograf´ıas de los matem´aticos creadores de
la teor´ıa. En la siguiente direcci´on
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk
se halla una colecci´on de biograf´ıas de los
matem´aticos m´as famosos.
La mayor parte de estas notas hist´oricas
est´a sacadas de [1].
1. Ecuaciones diferenciales de 1
Los primeros intentos para resolver problemas
f´ısicos mediante el c´alculo diferencial a
finales del siglo XVII llevaron gradualmente
a crear una nueva rama de las matem´aticas,
a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados
del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales
se convirtieron en una rama independiente y
su resoluci´on un fin en s´ı mismo.
Ya Newton (los creadores del c´alculo infinitesimal
fueron Leibniz y Newton) observ´o
que si d
n
y/dx
= 0, entonces y(x) es
un polinomio de grado n − 1, en particular, y
depende de n constantes arbitrarias, aunque
esta afirmaci´on tuvo que esperar hasta el siglo
XIX para poder ser demostrada con rigor (la
demostraci´on est´andar actual usa el teorema
del valor medio). Los matem´aticos de la ´epoca
con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si
y(t) denota la posici´on en el tiempo t de una
part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si
dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es
decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´on,
por tanto, permanece constante.
n
En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de
ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜no,
Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales
son funciones de elementos del tri´angulo caracter´ıstico.
er
orden
1
✻
ds
dx
dy
✲
Figura 1: El tri´angulo caracter´ıstico.
En 1690, Jacques Bernouilli plante´o el problema
de encontrar la curva que adopta una
cuerda flexible, inextensible y colgada de dos
puntos fijos, que Leibniz llam´o catenaria (del
lat´ın cadena). Galileo pens´o que esta curva
era una par´abola, mientras que Huygens
prob´o que esto no era correcto.
✻
❝
a b
❝
Figura 2: Una catenaria.
✲
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli
publicaron soluciones independientes. La de
Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente
en los textos de mec´anica:
Consideremos un cable homog´eneo sujeto
por sus dos extremos (que suponemos a la
misma altura) y que distan 2a uno del otro
y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la
funci´on que describe la posici´on del cable. Por
conveniencia se asumir´a que la altura m´ınima
del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,
y
0
(0) = 0).
✻
s s
✛T
0
y
✑
✑
θ
❝
❝
✑
✑
✑
✑
x
a
✑
✑✸
T
Figura 3: Deducci´on de la ecuaci´on de la catenaria.
Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por
conveniencia lo situamos en el tramo positivo
de las x; en otro caso, el razonamiento es completamente
igual) y pensemos en las fuerzas
que act´uan en el trozo de cable desde el punto
de altura m´ınima hasta (x, y):
El peso P. Si m es la masa y s es la longitud
del trozo considerado del cable, se
tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs),
donde g es la aceleraci´on terrestre.
La fuerza T
que ejerce la parte izquierda
del cable sobre el punto de altura m´ınima.
Se tiene T
0
0
= (−kT
0
k, 0)
La fuerza T que ejerce la parte derecha
del cable sobre el extremo derecho (x, y)
del trozo de cable considerado. Observando
la figura 3 se tiene que T =
kTk(cos θ, sen θ).
La condici´on de equilibrio es P+T
+T = 0.
O componente a componente:
kT
0
0
k = kTk cos θ, gρs = kTk sen θ.
Dividiendo ambas expresiones.
tan θ =
gρs
kT
0
✲
k
. (1)
2
A partir de ahora, denotaremos c = gρ/kT
k.
Como (v´ease la figura 1)
dy/dx = tan θ, (ds)
2
= (dx)
2
+ (dy)
,
si derivamos (respecto a x) la ecuaci´on (1), se
obtiene
d
2
y
dx
2
= c
p
O escrito de otro modo,
d
2
y
dx
2
= c
s
(dx)
2
+ (dy)
dx
.
1 +
dy
dx
2
2
.
Por supuesto, esto es una ecuaci´on de segundo
orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se
convierte en
dv
dx
= c
p
1 + v
2
2
. (2)
Problema 1: Resuelva la ecuaci´on (2). Use
ahora y
(0) = 0 para deducir que la ecuaci´on de
la catenaria es
0
y(x) =
1
c
cosh(cx) + B, (3)
donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´e significado
f´ısico o geom´etrico posee B?
El siguiente problema propone otra manera
de resolver la ecuaci´on (2) usando la teor´ıa
de las ecuaciones diferenciales lineales de orden
2:
Problema 2: Eleve al cuadrado (2) y derive
esta nueva ecuaci´on respecto a x para obtener
d
2
v/dx
2
= c
x. Halle ahora v = v(x) y obtenga
de nuevo (3).
2
La catenaria cumple otra importante
propiedad: de entre todas las curvas de longitud
dada, la que minimiza la energ´ıa potencial
es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] →
IR es la funci´on que describe la forma de la
0
catenaria (v´ease la figura 3), ρ es la densidad
del cable y g es la aceleraci´on de terrestre, la
energ´ıa potencial de un elemento infinitesimal
de masa, dm, es
dE = gydm = gyρds = gρy
p
1 + y
donde ds es el elemento diferencial de longitud
de arco. La catenaria minimiza
Z
a
−a
gρy(x)
p
1 + y
0
(x)
2
dx,
si la longitud de la cuerda es constante, es
decir
Z
a
−a
p
1 + y
0
(x)
2
dx es constante.
El estudio de funciones minimizantes
llev´o al descubrimiento del c´alculo de variaciones
por Euler a mediados del siglo XVIII
y Lagrange a finales del siglo XVIII mejor´o y
ampli´o los m´etodos de Euler.
Por otra parte, acabamos de ver que la catenaria
se puede obtener por dos caminos distintos:
a partir de las leyes de Newton o como
la curva que minimiza una cierta magnitud
f´ısica. Se vio que muchos problemas f´ısicos
poseen esta dualidad. La reformulaci´on de las
leyes f´ısicas por medio de funciones minimizantes
fue hecha por Hamilton a mediados del
siglo XIX.
Leibniz descubri´o la t´ecnica de separaci´on
de variables en 1691: Indic´o c´omo se resuelve
y
dx
dy
= f(x)g(y).
Tambi´en redujo en el mismo a˜no la ecuaci´on
homog´enea dy/dx = f(y/x) a una separable
de primer orden del modo usual: con el cambio
y = vx. En 1694, Leibniz, public´o la resoluci´on
de la ecuaci´on
dy
dx
+ p(x)y = q(x).
02
,
3
En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estudiaron
el problema de encontrar la familia
de curvas que cortan con un ´angulo dado a
una familia de curvas dadas. Jean Bernouilli
se˜nal´o que este problema es importante para
determinar las trayectorias de los rayos de luz
que recorren un medio no uniforme porque dichos
rayos cortan ortogonalmente los llamados
frentes de luz. El problema fue resuelto
de forma general e independiente por Leibniz
y por Jean Bernouilli en 1698. El m´etodo empleado
es el mismo que se usa hoy en d´ıa.
Jean Bernouilli plante´o el problema de determinar
el movimiento de un proyectil en un
medio cuya resistencia es proporcional a una
potencia de la velocidad. La ecuaci´on diferencial
es en este caso
m
dv
dt
= mg − kv
n
. (4)
Problema 3: Resuelva la ecuaci´on (4) cuando
n = 2. Deduzca que en este caso se tiene
donde a =
p
v(t) = a
f(t) + 1
f(t) − 1
,
mg/k y f(t) = e
2(t+C)/a
, siendo
C una constante
...