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Ecuaciones Diferenciales

omar34452 de Diciembre de 2013

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Breve historia de las ecuaciones diferenciales

Estas notas pretenden mostrar una breve

historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha

pretendido dar m´as ´enfasis a las ideas que a

las biograf´ıas de los matem´aticos creadores de

la teor´ıa. En la siguiente direcci´on

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk

se halla una colecci´on de biograf´ıas de los

matem´aticos m´as famosos.

La mayor parte de estas notas hist´oricas

est´a sacadas de [1].

1. Ecuaciones diferenciales de 1

Los primeros intentos para resolver problemas

f´ısicos mediante el c´alculo diferencial a

finales del siglo XVII llevaron gradualmente

a crear una nueva rama de las matem´aticas,

a saber, las ecuaciones diferenciales. A mediados

del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales

se convirtieron en una rama independiente y

su resoluci´on un fin en s´ı mismo.

Ya Newton (los creadores del c´alculo infinitesimal

fueron Leibniz y Newton) observ´o

que si d

n

y/dx

= 0, entonces y(x) es

un polinomio de grado n − 1, en particular, y

depende de n constantes arbitrarias, aunque

esta afirmaci´on tuvo que esperar hasta el siglo

XIX para poder ser demostrada con rigor (la

demostraci´on est´andar actual usa el teorema

del valor medio). Los matem´aticos de la ´epoca

con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si

y(t) denota la posici´on en el tiempo t de una

part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si

dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es

decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´on,

por tanto, permanece constante.

n

En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de

ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜no,

Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales

son funciones de elementos del tri´angulo caracter´ıstico.

er

orden

1

ds

dx

dy

Figura 1: El tri´angulo caracter´ıstico.

En 1690, Jacques Bernouilli plante´o el problema

de encontrar la curva que adopta una

cuerda flexible, inextensible y colgada de dos

puntos fijos, que Leibniz llam´o catenaria (del

lat´ın cadena). Galileo pens´o que esta curva

era una par´abola, mientras que Huygens

prob´o que esto no era correcto.

a b

Figura 2: Una catenaria.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouilli

publicaron soluciones independientes. La de

Jean Bernouilli es la que se encuentra habitualmente

en los textos de mec´anica:

Consideremos un cable homog´eneo sujeto

por sus dos extremos (que suponemos a la

misma altura) y que distan 2a uno del otro

y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la

funci´on que describe la posici´on del cable. Por

conveniencia se asumir´a que la altura m´ınima

del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,

y

0

(0) = 0).

s s

✛T

0

y

θ

x

a

✑✸

T

Figura 3: Deducci´on de la ecuaci´on de la catenaria.

Sea (x, y) un punto arbitrario del cable (por

conveniencia lo situamos en el tramo positivo

de las x; en otro caso, el razonamiento es completamente

igual) y pensemos en las fuerzas

que act´uan en el trozo de cable desde el punto

de altura m´ınima hasta (x, y):

El peso P. Si m es la masa y s es la longitud

del trozo considerado del cable, se

tiene m = ρs y por tanto, P = (0, −gρs),

donde g es la aceleraci´on terrestre.

La fuerza T

que ejerce la parte izquierda

del cable sobre el punto de altura m´ınima.

Se tiene T

0

0

= (−kT

0

k, 0)

La fuerza T que ejerce la parte derecha

del cable sobre el extremo derecho (x, y)

del trozo de cable considerado. Observando

la figura 3 se tiene que T =

kTk(cos θ, sen θ).

La condici´on de equilibrio es P+T

+T = 0.

O componente a componente:

kT

0

0

k = kTk cos θ, gρs = kTk sen θ.

Dividiendo ambas expresiones.

tan θ =

gρs

kT

0

k

. (1)

2

A partir de ahora, denotaremos c = gρ/kT

k.

Como (v´ease la figura 1)

dy/dx = tan θ, (ds)

2

= (dx)

2

+ (dy)

,

si derivamos (respecto a x) la ecuaci´on (1), se

obtiene

d

2

y

dx

2

= c

p

O escrito de otro modo,

d

2

y

dx

2

= c

s

(dx)

2

+ (dy)

dx

.

1 +



dy

dx



2

2

.

Por supuesto, esto es una ecuaci´on de segundo

orden; pero haciendo el cambio v = dy/dx, se

convierte en

dv

dx

= c

p

1 + v

2

2

. (2)

Problema 1: Resuelva la ecuaci´on (2). Use

ahora y

(0) = 0 para deducir que la ecuaci´on de

la catenaria es

0

y(x) =

1

c

cosh(cx) + B, (3)

donde B es una constante arbitraria. ¿Qu´e significado

f´ısico o geom´etrico posee B?

El siguiente problema propone otra manera

de resolver la ecuaci´on (2) usando la teor´ıa

de las ecuaciones diferenciales lineales de orden

2:

Problema 2: Eleve al cuadrado (2) y derive

esta nueva ecuaci´on respecto a x para obtener

d

2

v/dx

2

= c

x. Halle ahora v = v(x) y obtenga

de nuevo (3).

2

La catenaria cumple otra importante

propiedad: de entre todas las curvas de longitud

dada, la que minimiza la energ´ıa potencial

es precisamente la catenaria. Si y : [−a, a] →

IR es la funci´on que describe la forma de la

0

catenaria (v´ease la figura 3), ρ es la densidad

del cable y g es la aceleraci´on de terrestre, la

energ´ıa potencial de un elemento infinitesimal

de masa, dm, es

dE = gydm = gyρds = gρy

p

1 + y

donde ds es el elemento diferencial de longitud

de arco. La catenaria minimiza

Z

a

−a

gρy(x)

p

1 + y

0

(x)

2

dx,

si la longitud de la cuerda es constante, es

decir

Z

a

−a

p

1 + y

0

(x)

2

dx es constante.

El estudio de funciones minimizantes

llev´o al descubrimiento del c´alculo de variaciones

por Euler a mediados del siglo XVIII

y Lagrange a finales del siglo XVIII mejor´o y

ampli´o los m´etodos de Euler.

Por otra parte, acabamos de ver que la catenaria

se puede obtener por dos caminos distintos:

a partir de las leyes de Newton o como

la curva que minimiza una cierta magnitud

f´ısica. Se vio que muchos problemas f´ısicos

poseen esta dualidad. La reformulaci´on de las

leyes f´ısicas por medio de funciones minimizantes

fue hecha por Hamilton a mediados del

siglo XIX.

Leibniz descubri´o la t´ecnica de separaci´on

de variables en 1691: Indic´o c´omo se resuelve

y

dx

dy

= f(x)g(y).

Tambi´en redujo en el mismo a˜no la ecuaci´on

homog´enea dy/dx = f(y/x) a una separable

de primer orden del modo usual: con el cambio

y = vx. En 1694, Leibniz, public´o la resoluci´on

de la ecuaci´on

dy

dx

+ p(x)y = q(x).

02

,

3

En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estudiaron

el problema de encontrar la familia

de curvas que cortan con un ´angulo dado a

una familia de curvas dadas. Jean Bernouilli

se˜nal´o que este problema es importante para

determinar las trayectorias de los rayos de luz

que recorren un medio no uniforme porque dichos

rayos cortan ortogonalmente los llamados

frentes de luz. El problema fue resuelto

de forma general e independiente por Leibniz

y por Jean Bernouilli en 1698. El m´etodo empleado

es el mismo que se usa hoy en d´ıa.

Jean Bernouilli plante´o el problema de determinar

el movimiento de un proyectil en un

medio cuya resistencia es proporcional a una

potencia de la velocidad. La ecuaci´on diferencial

es en este caso

m

dv

dt

= mg − kv

n

. (4)

Problema 3: Resuelva la ecuaci´on (4) cuando

n = 2. Deduzca que en este caso se tiene

donde a =

p

v(t) = a

f(t) + 1

f(t) − 1

,

mg/k y f(t) = e

2(t+C)/a

, siendo

C una constante

...

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