Ecuaciones Diferenciales

Unidad I

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR:

Identificar los diferentes tipos de ED ordinarias de primer orden, sus soluciones generales, particulares y singulares e interpretarlas en el contexto de la situación en estudio.

Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial (ED) que describe algún proceso dinámico (crecimiento, decaimiento, mezclas, geométricos, circuitos eléctricos).

TEMARIO:

1) Teoría preliminar.

- Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad).

- Soluciones de las ecuaciones diferenciales.

- Problema del valor inicial.

- Teorema de existencia y unicidad.

2) ED de variables separables y reducibles.

3) ED exactas y factor integrante.

4) ED lineales.

5) ED de Bernoulli.

6) Aplicaciones.

Competencias previas:

Álgebra, operaciones, factorización, funciones.

Derivación de funciones explicita e implícitas.

Integración de funciones y métodos de integración.

TEORÍA PRELIMINAR.

En esta unidad se inicia el estudio de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y sus aplicaciones considerando los casos más simples de estas ecuaciones, pues se trata de las ecuaciones diferenciales de primera orden, denominada así porque en ellas intervienen solamente derivadas de primer orden de una función desconocida. En esta unidad como durante el curso se pretende capacitar al alumno en los diferentes métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales

La frase ECUACIONES DIFERENCIALES hace pensar en, al menos una ecuación, que contiene como elementos derivadas de una función desconocida; y una de las competencias a desarrollar en este curso es precisamente, el encontrar la solución de la ecuación diferencial dada. Para esto analizaremos las definiciones de algunos conceptos a utilizar.

Conforme avancemos en el curso, se observará que hay más en el estudio de las ecuaciones diferenciales, que solamente dominar los métodos que, en su momento, alguien invento para resolverlas.

En Cálculo Diferencial se aprendió que a partir de una función y=f(x), se obtiene su derivada definida por dy/dx=y^'=f^' (x), la cual expresa otra función, ya sea explícita o implícita. Donde el lugar de y expresa la variable dependiente, y el lugar de x expresa la variable independiente.

Considere las funciones siguientes;

y=3 Sen x^2

Determine la derivada de la función:

Considerando la suma de la derivada con la función inicial se puede generar una ecuación diferencial, es decir:

y=e^(x^3 )/3

Determine la derivada de la función:

Considerando la derivada de la función inicial, y el valor de la función inicial se tiene una ecuación diferencial:

Ejemplos:

y^'=cos⁡x

(x+y)dx-4y dy=0

(d^2 y)/(dx^2 )-4 dy/dx+3y=0

DEFINICIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES:

Ecuación Diferencial Ordinaria Es aquella Ecuación Diferencial que solamente contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

dy/dx-5y=e^2x

y^''+4y=0

x dy+y dx=0

x^2 (d^2 y)/(dx^2 )-2x dy/dx+5y=e^x

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN 1.1: Realizar lecturas sobre el origen de las ecuaciones diferenciales y presentar un resumen escrito de las conclusiones y ejemplos obtenidos.

ENTREGAR 31-ENERO-2014

El orden de una derivada ordinaria se define por las veces que se deriva una función, y se denomina primera derivada o derivadas de orden superior (segunda derivada (d^2 y)/(dx^2 ), tercera derivada (d^3 y)/(dx^3 ), etc, notación de Leibniz), durante el curso se utilizará esta notación o la notación prima, y^',y^'',y^'''…y^n.

Orden de una Ecuación Diferencial Se define por el orden de la derivada mayor que interviene en la ecuación diferencial.

Ecuación Diferencial Parcial Es aquella Ecuación Diferencial que contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes de dos o más variables independientes.

(∂^2 u)/(∂x^2 )-(∂^2 u)/(∂y^2 )+(∂^2 u)/(∂z^2 )=0 Ecuación diferencial parcial de segundo orden

x ∂u/∂x+4 ∂u/∂y=x Ecuación diferencial parcial de primer orden

(∂^2 u)/(∂t^2 )=k[(∂^2 u)/(∂x^2 )-∂u/∂y] Ecuación diferencial parcial de segundo orden

Estudiar las ecuaciones diferenciales parciales exige como antecedente una buena base en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). En este curso se estudia solamente las EDO.

ORDEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS:

Ecuación Diferencial de primer orden:

dy/dx-x=5 x^2

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