Ecuaciones Diferenciales

Universidad politécnica de Durango

Ingeniería en telemática

4 “B”

Ecuaciones Diferenciales

M.C. Alejandra Delgado Pérez

Alumno: Alejandro Valles Castro

¿Qué es la integral?

Gráficamente la integral representa el área bajo la curva de la función en cuestión (o el volúmen o el equivalente n-dimensional que corresponda). Pero decir "la integral sirve para calcular un área/volumen" da muy poca idea de su real utilidad.

Primero hay que tener en cuenta que se integra sobre una (o más) variables continuas. Por ejemplo, usted puede integrar "en el tiempo". La integral es una suerte de suma de magnitudes que van variando a lo largo de esa variable (o pueden permanecer constantes pero es un caso especial poco interesante). Fíjate que el símbolo de la integral es una deformación de la S de suma. Si la variable sobre la cual se integra fuera discreta (1, 2, 3, etc.) una simple suma bastaría pero, como es continua, se trata de infinitos valores, y por eso se necesitan de los artilugios matemáticos que llamamos integral.

Ejemplo: la "suma" de las fuerzas que experimenta un cuerpo en cada instante de un lapso de tiempo nos da un resultado físicamente significativo: el cambio que se produce en su cantidad de movimiento. Otro: si tenemos la función que describe la potencia eléctrica entregada a un bulbo eléctrico en cada instante de un lapso de tiempo, "sumamos" esas potencias para obtener la energía que le fue entregada.

Un ejemplo integrando en el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas (gráfico de una función bah) en lugar de en el tiempo: si se "suman" lo valores que toma una función se obtiene el área bajo su curva. Si ese valor después se divide por la extensión del segmento sobre el cual se "sumó", se obtiene el valor medio de la función para ese intervalo (así como se obtiene un promedio cuando una suma es dividida por la cantidad de valores sumados).

¿Cómo se hace cuando queremos calcular el efecto que un *cuerpo* cargado eléctricamente produce en otro punto del espacio, si la física nos da una ecuación para calcular el efecto de cada *punto* cargado? Integro para todos los puntos.

Por otro lado, hay matemáticos que vieron que esta operación (la integral) puede usarse como parte de teoremas y métodos de cálculo para otras aplicaciones que tienen poco que ver con la de la integral en sí (transformada/serie de Fourier, trans. de Laplace, etc.) Por ejemplo, si a partir de la integral (que normalmente es definida) creamos una suerte de "integral indefinida", resulta que podemos demostrar que ésta es la inversa de la derivada.

¿Qué es la derivada?

El cálculo diferencial e integral es la herramienta matemática más poderosa que hay en la actualidad.

Sobre esa base se desarrolló la física como la conocemos hoy, la mecánica de fluidos y su estudio hizo posible por ejemplo los aviones, las presas.

El descubrimiento de las leyes del electromagnetismo hizo posible los electrodomésticos, la TV y otros con el cálculo de circuitos.

En múltiples aplicaciones de ingeniería se parte del cálculo y derivadas para comprender problemas muy complejos, como en resistencia de materiales.

Si no se aplica constantemente, es porque probablemente te dediques a otra cosa.

Pero en la vida cotidiana, simplemente han servido de fundamento a un sinfín de inventos, y a teorías económicas.

Conclusión

La derivada se ha convertido en herramienta fundamental, puesto que permite tanto determinar cómo predecir el comportamiento de las diversas variables involucradas en un fenómeno. Los conceptos de velocidad y la aceleración

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