Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (E.D.O.)

El problema que enfrentamos en éste curso, no es, dada una función y=f(x)encontrar su derivada, más bien el problema es, si se da una ecuación como dy/dx=f´(x), encontrar de alguna manera una función y=f(x) que satisfaga a la ecuación, en una palabra se desea resolver ecuaciones diferenciales

DEFINICIÓN: Una ecuación diferencial es la que contienen derivadas o diferenciales de una función incógnita.

Ejemplos:

dy/dx=3/2 x-2

y^2 dx-x^2 dy=0

dy/dx=(2x+3y-1)/(4x+6y+3)

dy/dx+y/x=3cos⁡(2x)

(∂^2 ω)/(∂x^2 )+(∂^2 ω)/(∂y^2 )+(∂^2 ω)/(∂z^2 )=0, donde w=f(x,y,z)

((d^2 y)/(dx^2 ))^2-cos⁡(x) dy/dx=sen(x)

x^2 (∂^2 ω)/(dx^2 )+y^2 (∂^2 ω)/(dy^2 )+z^2 (∂^2 ω)/(dz^2 )=0, dondeω=f(x,y,z)

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:Se clasifican en dos tipos:

Si la función incógnita depende de una sola variable independiente en la cual sólo aparecen derivadas ordinarias, la ecuación diferencial se llama “Ecuación diferencial ordinaria”

Ejemplos: Tenemos algunas:

m (d^2 x)/(dt^2 )=-kx, dondeK=mω^2 es una magnitud positiva, “m” la masa (Ecuación diferencial del movimiento armónico simple)

L (d^2 q)/(dt^2 )+R dq/dt+1/C q=0 (Ecuación diferencia de la corriente eléctrica, donde q es la carga eléctrica, R la resistencia, L la inductancia, C la capacitancia)

Si la función incógnita depende de varias variable independientes y las derivadas son derivadas parciales, la ecuación diferencial se llama “ecuación diferencial parcial”

Ejemplos: Tenemos algunos:

(∂^2 ω)/(∂x^2 )+(∂^2 ω)/(∂y^2 )+(∂^2 ω)/(∂z^2 )=0, donde ω=f(x,y,z) (Ecuación diferencial de Laplace)

(∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )=f(x,y) (Ecuación diferencial bidimensional de Poissón)

ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA:

El orden de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el orden mayor de su derivada.

Grado de una ecuación diferencial ordinaria.- El grado de una ecuación diferencial ordinaria, está dado por el exponente del mayor orden de su derivada.

EJEMPLOS: Determina el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

e^x (d^2 y)/(dx^2 )+sen(x).dy/dx=x

((d^3 y)/(dx^3 ))^2-2(dy/dx)^4+xy=0

((d^5 y)/(dx^5 ))^2+2(dy/dx)^7+5xy=0

(d^2 Q)/(dt^2 )+R dQ/dt+Q/C=0

((d^3 y)/(dx^3 ))^4-((d^2 y)/(dx^2 ))^5+y=0

((d^2 y)/(dx^2 ))^3-2((d^2 y)/(dx^2 ))^4+(dy/dx)^4-x^7 y=cos⁡(x)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO:

A las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de primer grado representamos en la forma:

F(x,y,dy/dx)=0 … (1)

La ecuación (1) nos indica la relación entre la variable independiente “x”, la variable dependiente “y”, y su derivada dy/dx

De la ecuación (1) despejamos la derivada dy/dx; es decir en la forma siguiente:

dy/dx=g(x,y)

Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable.- Si de la E.D.O de primer orden y de primer grado que es:

dy/dx=g(x,y),

Podemos expresar en la forma:

M(x).dx+N(y)dy=0 … (2)

Donde M es una función sólo de x y N es una función sólo de y, entonces a la ecuación (2) se le denomina “ecuación diferencial ordinaria de variable separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:

∫▒〖M(x).dx+∫▒〖N(y).dy=C〗〗

Donde

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