Ecuaciones Diferenciales

El Legado Histórico De Las Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones que involucran más de dos fluxiones, las cuales en la actualidad conducen a ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En la Teoría de Fluxiones, Newton resuelve dos problemas principales, formulados tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos:

1 Determinación de la velocidad del movimiento en un momento de tiempo dado. De otro modo: determinación de la relación entre las fluxiones dada la relación entre los fluentes

2. Dada la velocidad del movimiento, determinación del espacio recorrido en un tiempo dado. En términos matemáticos: determinación de la relación entre los fluentes dada la relación entre fluxiones

El primer problema, llamado problema directo, representa el problema de la diferenciación implícita de funciones, en el caso general, y obtención de la ecuación diferencial que expresa las leyes del fenómeno. El segundo, el problema inverso, es el problema de la integración de las ecuaciones diferenciales presentadas en su forma más general. En particular, en este problema se trata de la búsqueda de las funciones primitivas. Los enfoques de Newton para la solución de un problema tan general y los procedimiento de su resolución se construyeron paulatinamente.

Ante todo, la simple inversión de los resultados de la búsqueda de fluxiones le proporcionó una enorme cantidad de cuadraturas. Con el tiempo, advirtió la necesidad de agregar, en esta inversión, una constante aditiva. Después resultó que la operación de inversión, incluso de ecuaciones comparativamente sencillas como Mx' + Ny' = O, obtenidas en el cálculo de las fluxiones, no siempre era posible y no se obtenía la función original. Newton advirtió esto, en el caso en que M = M(x, y) y N = N(x, y) fueran funciones racionales enteras

Cuando la inversión inmediata del método directo no conducía al éxito, Newton acudió al desarrollo de funciones en series de potencias como medio universal de la teoría de las fluxiones. Resolvió ecuaciones dadas, por ejemplo, respecto a y' / x' o (poniendo x = 1) respecto a y, y desarrolló la función del miembro derecho en series de potencias, integrando a continuación la serie término a término Este método lo comunicó mediante otro anagrama, el cual dice lo siguiente: "El primer método consiste en la extracción de una cantidad fluente de la ecuación que contiene su fluxión; el segundo en cambio consiste en la mera sustitución de una serie en lugar de una cantidad incógnita cualquiera, de la cual pueden deducirse fácilmente las otras, y en comparación de los términos homólogos de la ecuación resultante para obtener los términos de la serie supuesta"

En la última década del siglo XVII los hermanos Bernoulli (James y Johann) introdujeron términos como el de "integrar" una ecuación diferencial, así como el proceso de "separación de variables" (separatio indeterminatarum) de una ecuación diferencial. Alrededor de 1692, Johann Bernoulli 1 (1667~1748) encontró otro método, utilizado en una serie de problemas: la "multiplicación por un factor integrante" (sobre todo, para resolver ecuaciones en las cuales el método anterior no se podía aplicar, digamos la ecuación axdy - ydx = O, ya que aunque era posible separar las variables no se podía integrar, pues en la época no se había introducido el logaritmo J dx/x = lnx), método también usado por su sobrino Daniel (1700-1782), a partir de 1720

Este método puede ser considerado como general para ecuaciones de la forma: P (x, y) dx + Q(x, y)dy = o. Es difícil realizarlo, no obstante, debido a la elección del factor de integración La costumbre de buscar factores de integración como método inicial para encontrar la solución de una ecuación diferencial fue mantenida hasta los tiempos de Cauchy (1821). Leibniz (1693), y después Johann Bernoulli , con ayuda de la sustitución y = xt, resolvieron las ecuaciones homogéneas de primer orden.

La ecuación de Bernoulli (Johann ) ady = yp(x)dx + bynq(x)dx,

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