Ecuaciones Diferenciales

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita: (1ª o en su forma implícita: (1b Ejemplos de ecuaciones diferenciales. Si mediante operaciones algebraicas es posible expresar la ecuación diferencial en la siguiente forma: (2ª se dirá que es una ecuación diferencial de variables separables. De este modo, en cada miembro de la ecuación se tendrá una única variable. Para resolver este tipo de ecuaciones basta con integrar en cada miembro

Ecuaciones homogéneas

Una ecuación de la forma dy/dx = f(x,y) es homogénea siempre que la función f no dependa de x y y aisladamente, sino únicamente de sus razones y/x o bien x/y. Así pues las ecuaciones homogéneas adoptan la forma dy/dx = F(y/x).1 Se dice que una ecuación es homogénea si la función f(x, y) es fraccionaria y además el grado de los polinomios de numerador y denominador son los mismos. Por ejemplo: sería homogénea ya que todos los términos de ambos polinomios son de grado 3. Así se procede dividiendo tanto numerador como denominador por o en función de qué cambio haga más simple su resolución. Llegados a este caso según la elección se puede optar por uno de los dos cambios análogos, que son: Así se simplifica enormemente y suele quedar separable. Para finalizar solo resta deshacer el cambio, sustituyendo las u(x,y) por su valor como función que se ha establecido. El caso anterior puede generalizarse a una ecuación diferencial de primer orden de la forma: (3a) introduciendo la variable u = y/x; la solución de la anterior ecuación viene dada por: (3b) Ecuaciones lineales de primer orden La ecuación diferencial lineal de primer orden tiene la forma: (4a) Y la solución de la misma viene dada por: (4b) En el caso particular y , la solución es: (4c) Ecuación diferencial de Bernoulli Una ecuación de Bernoulli es aquélla que tiene la forma: (5a) Donde P(x) y Q(x) son funciones continuas cualesquiera. Su solución para α > 1 viene dada por: (5b) Dicha solución directa puede obtenerse aplicando paso a paso el siguiente método:

1) Cambiar la variable dependiente y por una nueva variable v de la siguiente manera:

2) Se diferencia v en función de x.

3) Se despeja el diferencial dy del paso anterior y se substituye en la ecuación diferencial original (resultando una ecuación lineal).

4) Se encuentra por integración directa la función v en la ecuación: donde nuestra hachecita es:

5) Se revierte el cambio de variable desde v a y y se encuentra la solución general, en función de su variable original x.

1.1 TEORIA PRELIMINAR

Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables. Por ejemplo, piensa en el conteo de la población representado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del conteo de la población de depredadores así como también de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada.

Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como, Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamado a veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es, dx/ dt = f(t, x, y) dy/ dt = g(t, x, y)

El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en algún tiempo t es, = (dx/ dt, dy/ dt)

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente, dx1/ dt = −4×1 + 2×2 dx2/ dt = 0×1 + −2×2 Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado. Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x En este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como, A = Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como, x(t)T = dx/ dt =

En caso de que el vector propio de la matriz constante A sea un subconjunto de los números reales para este ejemplo, podemos escribir, A = S * D * S-1 Aquí D es la matriz diagonal de la matriz de vectores propios de la matriz constante A y S es la matriz que contiene los vectores propios en forma de columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matriz diagonal D. En consecuencia, la forma de la matriz del ejemplo anterior se puede escribir como, dx/ dt = A * x, dx1/ dt, dx2/ dt = −4 2, 0 −4 * x1, x2. Al igual que en una ecuación diferencial ordinaria, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales también pueden formar un problema de valor inicial donde se dan varias condiciones iniciales

1.1.1 Definición (Ecuación Diferencial, orden, grado linealidad)

Ecuación: Es la relación entre variables expresadas mediante una igualdad. Ecuación Diferencial: Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que todos queremos oír. Es un lenguaje. Para representar la realidad en movimiento usamos también una clave especial, una simbología sintética que nos informa acerca

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