Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES

PRIMERA ACTIVIDAD

PRESENTADO POR: DIANA PAOLA MIRANDA FLOREZ

CÓDIGO: 45539854

CODIGO DEL CURSO: 100412

GRUPO: 201

TUTOR: ADRIANA GRANADOS COMBA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

INGENIERIA INDUSTRIAL

SEPTIEMBRE 2014

Primera Actividad

TEMA: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Establezca si la ecuación es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:

(d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx-5y=e^x La ecuación es lineal de segundo grado

TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

D. Resuelva la ecuación diferencial

= y/x+x/y

A primera vista se observa que no es posible resolverla por separación de variable. Lo primero que se debe hacer es que todos los términos de la ecuación queden en función de y/x

= y/x+(y/x)^(-1)

Ahora nos quedó una ecuación diferencial homogénea; haciendo uso del cambio de variable reemplazamos:

y/x=w

Despejamos

y=wx

Derivamos a ambos miembros de la ecuación:

dy/dx=dw/dx*x+(w*1)

dy/dx=dw/dx*x+w

Ya podemos reemplazar los valores originales de la ecuación por los que hemos obtenido:

dy/dx=y/x+x/y→dw/dx*x+w=w+w^(-1)

dw/dx*x+w=w+w^(-1)

dw/dx*x=w^(-1)

dw/dx*x=1/w

(dw*x)/dx=1/w

dw*x*w=dx

dw.w=dx/x

dw.w=1/x dx

Como ya se logró la separación de variables, teniendo cada una de su diferencial procedemos a integrar.

∫▒〖w*dw=∫▒〖1/x*dx〗〗

w^2/2=ln|x|+c

w^2=2ln|x|²+2c

w^2=2lnx^2+c

y^2/x^2 =lnx^2+c

y^2=x^2 (lnx^2+c)

y^2=x^2 lnx^2+cx^2

Finalmente tenemos la solución general de la ecuación diferencial

y=√(x^2 lnx^2+cx^2 )

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones dem3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).Los datos que podemos extraer del enunciado son los siguientes:

Volumen del lago 1000 millones de m^(3 )

Caudal entrante al lago 1000 m^(3 )/s

Caudal saliente del lago 1000 m^(3 )/s

Sustancia contaminante 1 m^(3 )/s

Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo entonces esta estará en función del (t)

Taza de entrada al lago A A=1000 m^3/ s

Taza de salida del lago B B=1000 m^3/ s

Concentración entrada C1=1 m^3/ s

Concentración saliente depende del tiempo C (t)?

V (t) volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo

Q (t) cantidad de contaminante en cualquier instante

C (t) concentración que hay en cualquier tiempo

Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas

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