Ecuaciones Polinomicas

1.6 Ecuaciones Polinómicas

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p (z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p (z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

¿Cómo resolver una ecuación de primer grado? Para la resolución de ecuaciones de primer grado podríamos definir un esquema con los pasos necesarios. Para empezar comencemos con una ecuación de primer grado sencilla: 9x − 9 + 108x − 6x − 92 = 16x + 28 + 396 Nuestro objetivo principal es dejar sola la x en uno de los términos, el izquierdo o el derecho.

1. TRANSPOSICIÓN: Lo primero que debemos hacer es colocar los términos con X en un lado, y los números enteros en otro. Para ello, podemos ver que hay algunos números que tendremos que pasarlos al otro término. Esto lo podemos hacer teniendo en cuenta que: Si el número está restando (Ej.: −6): Pasa al otro lado sumando (+6) Si el número está sumando (Ej.: +9): Pasa al otro lado restando (−9) Si el número está multiplicando (Ej.: •2) Pasa al otro lado dividiendo (en forma fraccionaria) (n/2) Si el número está dividiendo (en forma fraccionaria) (Ej.: n/5) Pasa al otro lado multiplicando (•5) Una vez hemos pasado todos los términos en nuestra ecuación, esta quedaría así: 9x + 108x − 6x − 16x = 28 + 396 + 9 + 92 Como podrás comprobar todos los monomios con X han quedado a la izquierda del signo igual, y todos los números enteros se han quedado en la derecha.

2. SIMPLIFICACIÓN: Nuestro siguiente objetivo es convertir nuestra ecuación en otra equivalente más simple y corta, por lo que realizaremos la operación de polinomios que se nos plantea Es decir en nuestro caso, por un lado realizamos la operación: 9x+108x-6x-16x Y por otro lado: 28+396+9+92 De forma que nuestra ecuación pasaría a ser esta: 95x = 475

3. DESPEJAR: Ahora es cuando debemos cumplir nuestro objetivo final, dejar la X completamente sola, para ello volveremos a recurrir a la transposición. Es decir, en nuestra ecuación deberíamos pasar el 95 al otro lado, y, como está multiplicando, pasa dividiendo: x = 475 / 95 Comprueba que el ejercicio ya está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que nos dice que la x ocultaba el número 475/95. Sin embargo debemos simplificar esto. Resolvemos la fracción (Numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto, si nos diera decimal, simplificamos la fracción y ese es el resultado. En nuestra ecuación vemos que si se puede

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