Ecuación de Bernoulli

Ecuación de Bernoulli

Se presentaron varias leyes de conservación de masa, momento, energía y entropía en las secciones anteriores. La conocida ecuación de Bernoulli no es una ley, pero se deriva de la ecuación de cantidad de movimiento para los flujos no viscosos, a saber, el Euler ecuación

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donde hemos asumido que la gravedad g = −∇ (gz) es la única fuerza del cuerpo. El advectivo La aceleración se puede expresar en términos de vorticidad de la siguiente manera:

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donde hemos usado rij = −εij kωk (ver ecuación 3.23), y usamos la notación habitual:

[pic 3]

Entonces la ecuación de Euler se convierte en:

[pic 4]

Ahora suponga que ρ es una función de p únicamente. Un flujo en el que ρ = ρ (p) se llama un flujo barotrópico, del cual los flujos isotérmicos e isentrópicos (p / ργ = constante) son casos especiales. Para tal flujo podemos escribir :

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donde dp / ρ es un diferencial perfecto, y por lo tanto la integral no depende de el camino de la integración. Para mostrar esto, tenga en cuenta que :

[pic 6]

donde x es el "punto de campo", x0 es cualquier punto de referencia arbitrario en el flujo, y han definido la siguiente función de ρ solo:

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El gradiente de la ecuación (4.73) da :

[pic 8]

donde se ha utilizado la ecuación (4.74). La ecuación anterior es idéntica a la ecuación (4,72). Usando la ecuación (4.72), la ecuación de Euler (4.71) se convierte en :

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Definición de la función de Bernoulli:

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la ecuación de Euler se convierte (usando notación vectorial):

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Las ecuaciones de Bernoulli son integrales de las leyes de conservación y tienen una amplia aplicabilidad. como se muestra en los ejemplos que siguen. Se pueden hacer deducciones importantes del ecuación precedente considerando dos casos especiales, a saber, un flujo estable (rotacional de irritación) y un flujo de irritación inestable. Estos se describen a continuación.

Flujo constante

En este caso, la ecuación (4.76) se reduce a

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El lado izquierdo es un vector normal a la superficie B = constante, mientras que el El lado derecho es un vector perpendicular tanto a u como ɷ (Figura 4.17). Sigue que las superficies de constante B deben contener las líneas de corriente y las líneas de vórtice. Por lo tanto, un El flujo barotrópico, constante y no viscoso satisface:

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que se llama ecuación de Bernoulli. Si, además, el caudal es irrotacional (= 0), entonces la ecuación (4.72) muestra que

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Se puede demostrar que una condición suficiente para la existencia de las superficies que contienen líneas de corriente y vórtice es que el flujo sea barotrópico. Por cierto, estos se llaman superficies de Lamb en honor al distinguido matemático aplicado inglés y el hidrodinámico Horace Lamb. En general, es decir, flujo no barotrópico, un La ruta compuesta por segmentos de línea aerodinámica y vórtice se puede dibujar entre dos puntos en un campo de flujo. Entonces la ecuación (4.78) es válida con la condición de que la integral sea evaluado en el camino específico elegido. Como está escrito, la ecuación (4.78) requiere las restricciones que el flujo sea constante, no viscoso y solo tenga gravedad (u otro conservador) fuerzas corporales que actúan sobre él. Los flujos de irrigación se estudian en el capítulo 6. sólo el punto importante aquí es que, en un marco de referencia no rotatorio, barotrópico Los flujos de irrigación siguen siendo irrotacionales si los efectos viscosos son insignificantes. Considera el

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